傅里葉分析講解三

本文轉載自查看原文 2019-09-25 09:09 324 傅里葉分析與小波分析

引用：https://www.jianshu.com/p/f5a89d76eb28

上一篇中簡單介紹了什么是傅里葉級數，最后得到了在周期為 $2\pi$ 的傅里葉級數的系數解，那么如何得到任意周期的傅里葉級數呢？

我們先看在周期為 $2\pi$ 的函數傅里葉級數表達:
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(nx) +b_nsin(nx) )$
其對應的解為：
$a_0=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)dx$
$a_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)cos(nx)dx$
$b_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)fin(nx)dx$
如何將其變為任意周期的函數呢？

其實這里只需要簡單的換元操作即可。
舉個栗子:
$f(x)=\sin(x)$ 其周期為 $2\pi$ , $f(x)=f(x+2\pi)$ 。我們令 $x=2t$ ,則 $f(x)=f(2t)=f(2t+2\pi)=f(2(t+\pi))$ ,整理下:
$f(2(t))=f(2(t+\pi))$
所以在對於t來說就變換成了周期為 $\pi$ 的函數。
so對於周期為 $2L$ （方便計算）的函數f(t) 只需令 $x=\frac{\pi}{L}t$ 帶入原周期為 $2\pi$ 的函數即可：
$f(t)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{\pi nt}{L}) +b_nsin(\frac{\pi nt}{L}) )$
同樣的可以得到：
$\cos(x)=\cos(\frac{\pi t}{L})$
$\sin(x)=\sin(\frac{\pi t}{L}) )$
$\int_{-\pi}^\pi dx=\int_{-L}^L d\frac{\pi t}{L}$
最后我們得到:
$a_0=\frac{1}{L }\int_{-L}^L f(t)dt$
$a_n=\frac{1}{L }\int_{-L}^L f(t)cos(\frac{\pi nt}{L})dt$
$b_n=\frac{1}{L }\int_{-L}^L f(t)sin(\frac{\pi nt}{L})dt$

過程很簡單，我就省略了，畢竟人生苦短。

2 傅里葉級數的復數形式

我們在寫一下傅里葉級數的公式：
$f(t)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(n \omega t) +b_nsin(n \omega t) ) \\ \omega=\frac{2\pi }{T}$
其中T代表函數的周期，也就是上面的2L，對應的解就是:

$a_0=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)dt$
$a_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)cos(n \omega t)dt$
$b_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)sin(n \omega t)dt$

想要得到傅里葉級數的復數形式，需要先了解下歐拉公式。
關於歐拉公式，網上有很多的博客，這里就不細說了，只是簡單說下歐拉公式的本質。
我們先看下公式：
$e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)$

$e^{i\theta}$ 可以看作是復平面上的一個向量，其到實軸的投影是 $cos(\theta)$ ，到虛軸的投影是 $isin(\theta)$ ，其中 $\theta$ 便是向量與實軸的夾角。

image.png

而歐拉公式的直觀理解就是在復平面上做圓周運動

歐拉公式.gif

隨着 $\theta$ 變化， $e^{i\theta}$ 就變成圓周運動了。而前面的系數a則是圓的半徑，當a=1的時候就是在單位圓上做圓周運動。

而且通過歐拉公式，我們可以得到三角函數的復數形式：
$\cos(\theta)=\frac{1}{2}(e^{i \theta}+e^{-i \theta}) \\ \sin(\theta)=-\frac{1}{2}i(e^{i \theta}-e^{-i \theta} )$

將上面的復變三角函數替換傅里葉級數中的三角函數得到:
$f(t)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\frac{1}{2}(e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}) -b_n\frac{i}{2}(e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t})) \\ =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty ((a_n\frac{1}{2}e^{i n \omega t}+a_n\frac{1}{2}e^{-i n \omega t}) -(b_n\frac{i}{2}e^{i n \omega t}- b_n\frac{i}{2}e^{-i n \omega t})) \\ =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty ((\frac{a_n-b_ni}{2}e^{i n \omega t}+\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-i n \omega t}) ) \\ =\sum_{n=0}^0\frac{a_0}{2} e^{in\omega t}+\sum_{n=1}^\infty (\frac{a_n-b_ni}{2}e^{i n \omega t})+\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-i n \omega t} )$
我們令 $\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-i n \omega t} )$ 中的n為-n
則得到：
$f(t)=\sum_{n=0}^0\frac{a_0}{2} e^{in\omega t}+\sum_{n=1}^\infty (\frac{a_n-b_n}{2}e^{i n \omega t})+\sum_{n=-\infty}^{-1}(\frac{a_{-n}+b_{-n}i}{2}e^{-i -n \omega t} )$
所以可以看到n的范圍變成了 $-\infty$ 到 $\infty$ ，並且每一項都有 $e^{i n \omega t}$ ，於是我們可以得到一個漂亮的形式：
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{in\omega t}$

其中 $C_n$ 分為3中情況：
$n=0 \quad\quad C_n=\frac{a_0}{2} \\ n=1,2,3... \quad C_n=\frac{a_n-b_ni}{2}\\ n=-1,-2,-3... \quad C_n=\frac{a_{-n}+b_{-n}i}{2}$

我們將傅里葉級數之前的解帶入上邊
$a_0=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)cos(n \omega t)dt \\ b_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)sin(n \omega t)dt$

當n=0的時候：

$n=0 \quad\quad C_n=\frac{a_0}{2}=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)dt = \frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)e^{-n \omega t}dt\\$

當 $n=1,2,3...$ 的時候

這里因為cos是偶函數，sin是奇函數所以：

當 $n=-1,-2,-3...$ 的時候

可以驚奇的發現，三種情況的解是一樣的。所以對於任意周期函數，我們都可以寫成:
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{in\omega t} \\ C_n=\frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)e^{-in \omega t}dt$
但其中的每一項是什么意思呢？
還記得之前說的 $e^{i\theta}$ 的本質嗎？在圓上做圓周運動，那么 $e^{-in \omega t}$ 也是在做周期運動了。那 $n\omega$ 又是什么呢？
我們知道 $\omega=\frac{2\pi }{T}$ ，所以我們可以把 $\omega$ 看成是以 $2\pi$ 為單位的頻率(正常來講頻率是 $\frac{1}{T}$ )。而系數 $n$ 是就可以看成是幾倍的基頻，正數是逆時針運動，負數就是順時針運動。在圖形上的反應就是，頻率越高，轉的越快了
，但其最小公共周期是一樣的。
1倍基頻

1倍頻.gif

10倍基頻

10倍頻.gif

那么系數 $C_n$ 怎么理解呢？前面說過 $ae^{i\theta}$ 的系數a是代表 $e^{i\theta}$ 運動的圓半徑，這里 $C_n$ 是復數是不是也能這樣理解呢？其實粗糙來講是可以這樣理解的。
看個圖，只管的理解下把

gif1.gif

上圖中紅色的向量相對於藍色的向量只是多了系數 $C_n=\sqrt2+i\sqrt2$ ,所以紅色向量運動的半徑就是2剛好是復數 $\sqrt2+i\sqrt2$ 的模長乘以1，當然除此之外，紅色向量的幅角也變大了些。這些都是因為復數的乘法性質---復數相乘表現為幅角相加，模長相乘。
這下，當有人和你說傅里葉變換是把時域變換到頻域上，你應該就很容易理解是什么意思了。頻域就是1倍，2倍，3倍.......的 $\omega$ ,而每個 $\omega$ 都有自己的幅長 $C_n$ ,當把這些所有的 $\omega$ 相加，就得到時域中的圖像。

更加生動有趣的介紹可以參見傅里葉分析之掐死教程，我這里是從數學的角度來介紹傅里葉變換。

3 推廣到非周期函數上

目前該證明的都差不多了，還有最后一個任務，就是推廣到非周期函數上。對於非周期函數，我們可以看成是周期無限遠的函數，那也就是周期T變成 $\infty$ 的時候傅里葉級數。隨則T的變大 $w$ 也就不斷的減小，當T趨近於 $\infty$ 的時候， $w$ 也由 $1w,2w,3w......$ 變成了 $\Delta w$ ，那么很自然就需要對 $w$ 做積分。

我們先看下
$\Delta w=(n+1)w-nw=w=\frac{2\pi}{T} \\ \frac{1}{T} =\frac{\Delta w}{2\pi}\\$

當T趨近於 $\infty$ 的時候我們可以得到：
$\int_{0}^T f(t)dt \quad -> \quad \int_{-\infty}^\infty f(t)dt\\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\Delta w \quad -> \quad \int_{-\infty}^\infty dw$
將這些帶入傅里葉級數,並且T趨近於 $\infty$ ，就得到:
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)e^{-in \omega t}dt e^{in\omega t} \\ =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta w}{2\pi}\int_{0}^T f(t)e^{-in \omega t}dt e^{in\omega t}\\ =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt e^{i\omega t}dw$
其中畫紅圈的地方就是傅里葉變換

image.png

一般寫成一個關於的函數，其實就相當於前面的:

而整個公式就是傅里葉逆變換，寫成：
$F^{-1}(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt e^{i\omega t}dw=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(w) e^{i\omega t}dw$

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