【原文：http://wenku.baidu.com/view/a8cb3548336c1eb91a375dc6.html】
我們的提綱如下：
1. 為什么我們要分解一個函數
2. 傅里葉級數就是三角級數
2.1 傅里葉級數就是把周期函數展開成基頻和倍頻分量
2.2 每個分量的大小我們用投影的方法來求。
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你是大學生嗎？你學理工科嗎？你還不知道傅里葉級數嗎？你以為傅里葉和泰勒有什么親戚關系嗎？你一定聽說過傅里葉展開和泰勒展開吧？展開的結果就是傅里葉級數和泰勒級數。他們是對一個函數的不同的【展開】方法。
【相信我，傅里葉分解其實巨簡單！】
#【但是最開始的問題一定是：我們為什么要展開一個函數？？？？！！！！！
一個函數：
y=1
他的泰勒展開是神馬？還是y=1。
那么y=x的展開呢？
是y=x。
我們知道，泰勒展開是把函數分解成1, x, x^2, x^3, …等等冪級數的【和】。
就是【把一個函數變成幾個函數的和】啊！！！這個展開的式子就是泰勒級數啊！！！
對函數的展開和5 = 2+3 一樣一樣一樣的啊！！！要多簡單有多簡單有木有啊！！！
但是你要注意啊：
【展開的很多時候是有無限項不能窮盡的呀！】
你還記得sinx 的泰勒展開是什么嗎？ sinx = 0+ x – 1/3!x^3 + 1/5!x^5 -…
（如果系數錯了可千萬不要吐槽啊啊啊，lz是學渣記系數記不住啊！！！！）
【那么現在提問：】你知道為什么要展開成冪級數的和嗎？請看這里：
因為我們把y展開成泰勒級數 y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的時候我們可以無限細分得到函數在每個點的【【變化】】呀呀呀！
這和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一樣一樣一樣的啊！！！
所謂對函數的無限細分，就是不斷求導，得到123456789階變化率，從而得到這個函數到底在各個點【精細】【變化】的有多劇烈啊！還記得神馬叫變化嗎？位移的變化是速度，速度的變化是加速度，加速度的變化是加加速度的。一句話，【變化就是導數啊】！！！
【泰勒級數的每一階的系數（主值）就是各階導數啊！！】
所以泰勒級數就是在描述一個函數的各個點的變化啊啊啊！！！
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喂！！！不要再跑題啦啦！！我們是要說傅里葉級數的好不好！！！！
你不認識傅里葉？沒有任何關系，但是你見過三角形嗎？知道三角函數嗎？
傅里葉級數又叫三角級數啊。一句話就是【把一個函數y拆成三角函數的和】啊啊！！
神馬，你還記得神馬是三角函數嗎？sinx,cosx等等。
那馬展開成三角級數，簡單！
y = sinx + sinx^2 + sinx^3… 是這樣嗎？？？？
【樓主，這樣真的沒有問題嗎？？？】
【原諒樓主吧，上面的式子是錯的！！！！！！】
當當當當！！下面才是傅里葉級數：：：
y= 1 + sinx +cosx +sin2x + cos2x + …..
【這才是傅里葉級數！！！】
喂喂喂，這都是神馬呀？【憑神馬能拆成三角函數的和呀呀！！！】【為什么要是sinx、sin2x…呀呀呀！！！】
親，你知道的！只有【周期】函數才有傅里葉級數嗷嗷！！也就是說只有周期函數可以拆成三角函數的和呀呀！！
【神莫】你要問非周期函數腫么辦？那你就要去了解【傅里葉變換】了。我變我變我變變變。任何一個比較正常（沒有間斷點的函數），基本上都可以進行傅里葉變換呀呀呀！！（←_←這句話的嚴謹性我才不保證【嚴謹】性）
好好好。我們就來解釋一下傅里葉級數的形式：
我們來說一下【為什么要把周期函數拆成三角函數的和】這也是和【為什么要把一個函數拆成冪級數的和】一樣本質的問題。
好，周期函數總有周期吧。
比如說，你在學唱歌，喊了一秒，歇一秒，再喊一秒，歇一秒。。。。你就一直從歷史喊到了未來，永不停歇。這樣你的發聲便是一個周期為2秒的方波。（假設你的氣息平穩，喊的聲音大小是不變的，噢這真是難為你了。）
就像這樣：（只看上半部分！！）
畫圖的這玩意兒叫MATLAB。好NB的趕腳。
你以為你的聲音就僅僅是周期為2秒的方波這么簡單嗎？大錯特錯！
告訴你！你的聲音是很多個不同頻率的正弦波組成的！！！（雖然你也可以認為方波而不是正弦波是組成世界的基礎【哈哈這樣的想法是對的！持有那樣想法的人搞出來了沃爾什變換！就是用一系列周期為1/2^n的函數來模擬原來的函數。】）
那你知道你想知道為什么分解成三角函數的和（正弦波）那么重要嗎？？
那是因為，我們知道，對於一個周期函數來說，和周期對應的叫頻率。頻率表示了周期性變化的快慢（比如說振動的快慢）。我們知道彈簧是有振動頻率的、電磁波是有振盪頻率的，光也是有頻率的。
那么【頻率就是這些物質的本質屬性。】
（表忘了樓主成經是KB的墊紙男。。。）在電子學里，我們知道電容是隔直通交的。但是怎么一個“隔直通交”法呢？其實這就是電容對不同頻率的電學量（比如電壓和電流）的頻率特性不同的體現。對於頻率為0的電壓，不論有多少電壓，它的電流都為0，對於頻率為為w（跟我一起念：【歐米茄】）的電壓，會產生與w和電壓U成正比的電流。所以說我們要把一個函數分成不同頻率的分量。
【喂喂喂先等等，分解成不同頻率沒問題，那憑什么是正弦/余弦的頻率呀！！！】
【廢話】因為正弦/余弦函數是【二階偏微分方程】（就是含有電容等元件的電路方程）的【本！征！解！】。
【多說一下。。】這個世界上只有兩種東（函）西（數）能夠滿足給自己求二階導還是這種函數自己本身（僅相差常數系數和正負號），一種就是e^x，另一種就是sinx、cosx。（后人又在復數域里統一了他們成為e^z = e^x * e^yi)）別問我為什么。。。要問就問【e是什么】和【什么是歐幾里得空間/為什么勾股定理成立】
所以呢，對於一個一般的物理量（電學量）來說，它可能不是正弦函數/余弦函數。但他們都是可以拆成不同頻率的三角函數的組合的。【最為最為重要的是】，對於某種單頻的三角函數，電路系統（或者多數其他物理系統），對【某種頻率】的三角函數的輸入的【【【響應】】】還是【同頻率】的三角函數，只可能是相（前）位（后）或者幅（大）度（小）發生變化。【騷年！你終於知道神馬叫上面說的【二階偏微分方程的【本！征！解！】了吧！！只有e^x 和coswx, sinwx 響應才會是形式不變的呀呀！！】
好好好，又廢了不少話。不過我們已經大工告成一半了。
【我們知道我們要把函數展開成三角不同頻率的三角函數的和】 【而且系統對某種頻率的【三】【角】【函】【數】的響應方式還是【同頻率的三角函數】，所以響應也是對這些不同【三】【角】頻率【響應的疊加】（這叫什么，這就叫頻域分析，這就叫信號與系統！！）【我們又說多了摔。。】
我們回來看看下面這個真實的例子，這也是一個方波（只不過它是從正到負的，相當於我們之前的方波下移了1/2A【A是幅度】），下面好好欣賞一下彩圖吧！我們可以看出來，它是由sinx,sin3x,sin5x,sin7x組成的。我們如果把一個方波放到一個電路里的話，它出來的絕不是方波，但卻是對sinx,sin3x,sin5x,sin7x…分別的反饋的疊加（分別是系統對sinx,sin3x,sin5x,sin7x的反饋的疊加…）。
再回來看看我們的傅里葉級數的公式吧：
好復雜啊有木有！！！
【尼瑪這樣的數學就是唬人的！！！】
公式里的l是周期的一半（或者說周期是2l）。
用這個式子我們就可以表示周期是2l的【各種樣子】的周期函數。就像我們上面的方波那樣。而1/2l就是它的【基頻】。之所以所有的頻率都是【基頻的倍數】那是因為它要符合【（周期性）邊界條件！！】
好吧可是為什么又有cosx又有sinx？？！好難看的公式有木有！！
其實分明就應該是
f(x) = a0 + A1sin(w1x + phi1) +A2sin(2w1x +phi2) + …
【不】【要】【把】【相】【位】【拆】【開】呀好不好，還弄個an、bn搞得一團糟啊啊！
但是你把相位拆開了就是上面的式子啊啊啊！！
但你要知道，這個【相位是多少】【我們是不知道的】，為了求相位我們需要把每一個頻率（k）的coskx的幅度和sinkx的幅度都搞清楚再求出來啊啊，所以ak和bk這兩個系數合起來才能搞清楚Ak和phik啊！！
【一句話，傅里葉級數就是】
把周期函數拆開成 常數（直流分量）+一倍頻分量+2倍頻分量+…這么簡單的一件事啊啊！！
#【可是拆開的每個分量的大小我還不知道啊啊！！】
你要告訴我系數a0 a1 a2 a3 b1 b2 b3都怎么算啊啊！！！
怎么算，拿【投影】算啊啊！！你沒學過函數的投影你還沒學過向量的投影嗎啊啊！！
向量的投影是直接用a·b啊啊。函數的投影是神馬？是下面這個東東啊啊！！
【一個函數u和一個函數v的內積】就是他們倆相乘，然后在全區間上積分啊！
可不可以說人話！！！【神馬！讓我說人話？？！！要把我搞瘋掉是不是！！】
在周期函數里區間端點a和b就是任何一個長度為2pi的區間端點啊啊，我們一般取的是好算的0和2pi，你要取-pi和pi是一樣一樣的，因為他們都是周期重復的啊啊。
為神馬要積分搞不懂啊啊，積分就是就是【累加】啊啊，你把兩個函數在每一個對應點x上面都相乘了然后取個積分就是對兩個函數所有的a到b上的函數值做乘積再累加啊啊！！
那么我們把【u取f(x)】，把【v分別取1，sinx, sin2x, sin3x, …, cosx, cos2x, cos3x,…】 這就是【做投影】就能[得到每一個頻率的各自部分的分量大小】啊！！
為什么像【這樣做內積】就可以呢？？
當當當當，這里出來了一個重要的概念，大名鼎鼎的【完備正交基】啊啊！【尼瑪勞資被線性代數虐過一千遍對這個詞匯那是刻骨銘心啊！！】
【完備】是說你用1，sinx, cosx, sin2x, cos2s, sin3x, cos3x, …【完全】能夠【把一個函數f(x)表示】出來啊（就像用1, x, x^2, x^3 …可以表示f(x) 是一樣的）。
那【蒸（正）餃（交）】又是神馬呢？【正交】就是說他們兩兩都【不】【相】【關】啊！！
你看下面的式子（積分號這么寫你還一定看得懂啊啊！！）
S(0,2pi) [1 * sinx dx] = 0 。
S(0,2pi) [sinmx * cos nx] = 0 。
S(0,2pi) [sinmx * sin nx] = 0
兩兩相乘在區間內累加都等於零啊！！
不要問我為什么剛剛好都等於零，這個問題我只能回答【世】【界】【真】【奇】【妙】啊啊！！
【喂喂喂，兩兩不相關還沒完，正交基還要求每一個的長度為1你都忘了喂！！！】
S(0,2pi) [1 * 1 dx] = 2pi 【打叉叉】不是正交基
S(0,2pi) [sinkx * sinkx dx] = pi 【打叉叉】不是正交基
【都。。。。。不等於一。。。。就把它變成一！！！！】
S(0,2pi) [1/sqrt(2pi) * 1/sqrt(2pi) dx] = 1
S(0,2pi) [1/sqrt(pi)sinkx * 1/sqrt(pi)sinkx dx] = 1
所以你懂不懂啊，傅里葉分解真正的基底是下面這些啊啊！！
1/sqrt(2pi)、1/sqrt(pi)sinx、1/sqrt(pi)cosx、1/sqrt(pi)sin2x、1/sqrt(pi)cos2x…
我告訴你你之所以把f(x)和上面的任何一個相乘再在去建立取積分就得到了某一個的系數是因為你在積分的時候其實把其他的基底的分量都積掉了了呀呀！！【就像你面前放了一個番茄一個黃瓜你拿一個紅色的眼鏡一看！黃瓜木有啦啦啦！！！或者如果你要看黃瓜你就換一個綠色的眼鏡！！！這樣說還不明白嗎！！！】
那你知道了【周期為2l】的正交基就是：
1/sqrt(2l)、1/sqrt(l)sinx、1/sqrt(l)cosx、1/sqrt(l)sin2x、1/sqrt(l)cos2x…啊！！
你要算系數還是用f(x)和每一個相乘再求積分就出來了啊！！傅里葉分解就是這么簡單啊啊！！
把f(x)拆成不同頻率三角函數的和：
用內積的方法分解出每一個分量的系數：
下面更直接地寫出了怎么用內積的方法計算系數【騷年，有木有看到啊，非單位化的基底有多么難看啊！！】
我該說的都說完了，你到底懂沒懂啊！！（沒懂的自行在下面默默留言。。）
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關於復數形式e^jx的傅里葉級數，
以及對於非周期函數的傅里葉變換，
同樣是“【很簡單】”的事情。
但是里面分別涉及到了【對e^jx的理解】（以及對歐拉公式的探討）和對【離散與連續的分析】。lz還沒有准備好。所以這里就先寫這么多了。不過有一點確定的是，使用復數形式的傅里葉級數和傅里葉變換是比三角形式的傅里葉級數要“先進”的。以及傅里葉變換本來不應該用從傅里葉級數逐漸演變的方式引入的。歡迎探討。敬請期待。