傅里葉矩陣

傅里葉矩陣可以看成是離散傅里葉變換的算子，

即對信號做一個 傅里葉變換，相當於對它左乘一個傅里葉矩陣。當然，具體計算應該用快速傅里葉變換。傅里葉矩陣在理論分析時具有重大作用。

傅里葉矩陣 的第k行相當於函數 在 點處的值。

因為 .

所以每一行表示不同的頻率。

如第一行表示直流分量，第二行對應 ,頻率為1Hz。

第三行對應2Hz等等。

clear;

clc;

F=dftmtx(100);

subplot(3,1,1)

hold on

x=(0:99)/100;

plot(x,real(F(1,:)));

plot(x,real(F(2,:)));

plot(x,real(F(3,:)));

legend( 'k=0' , 'k=1' , 'k=2' )

從而傅里葉矩陣可以有效衡量一個信號的頻率成分。

但在高頻區，傅里葉矩陣因為是采樣與連續型的函數有區別。

主要是采樣的容量不夠引起的。

subplot(3,1,2)

plot(x,real(F(50,:)));

legend( 'k=50' )

subplot(3,1,3)

plot(x,cos(100*pi*x));

legend( 'continuous' )

 

 

過采樣的傅里葉變換

在許多應用中，如相位恢復等，需要過采樣。

其中，K>N.

例如，取K=2N。

則F的第一行仍然表示直流分量。第二行表示0.5Hz。第三行1Hz，第四行1.5Hz.

A=dftmtx(200);

F_o=A(:,1:100);

figure(2)

plot(x,real(F_o(1,:)),x,real(F_o(2,:)),x,real(F_o(3,:)));

legend( 'k=0' , 'k=1' , 'k=2' )

 

由於自相關性，許多傅里葉矩陣選擇K=2N-1.

取N=100，則有如下結果

A1=dftmtx(199);

F1=A1(:,1:100);

figure(3)

plot(x,real(F1(1,:)),x,real(F1(2,:)),x,real(F1(3,:)));

legend( 'k=0' , 'k=1' , 'k=2' )