傅里叶矩阵

傅里叶矩阵可以看成是离散傅里叶变换的算子，

即对信号做一个 傅里叶变换，相当于对它左乘一个傅里叶矩阵。当然，具体计算应该用快速傅里叶变换。傅里叶矩阵在理论分析时具有重大作用。

傅里叶矩阵 的第k行相当于函数 在 点处的值。

因为 .

所以每一行表示不同的频率。

如第一行表示直流分量，第二行对应 ,频率为1Hz。

第三行对应2Hz等等。

clear;

clc;

F=dftmtx(100);

subplot(3,1,1)

hold on

x=(0:99)/100;

plot(x,real(F(1,:)));

plot(x,real(F(2,:)));

plot(x,real(F(3,:)));

legend( 'k=0' , 'k=1' , 'k=2' )

从而傅里叶矩阵可以有效衡量一个信号的频率成分。

但在高频区，傅里叶矩阵因为是采样与连续型的函数有区别。

主要是采样的容量不够引起的。

subplot(3,1,2)

plot(x,real(F(50,:)));

legend( 'k=50' )

subplot(3,1,3)

plot(x,cos(100*pi*x));

legend( 'continuous' )

 

 

过采样的傅里叶变换

在许多应用中，如相位恢复等，需要过采样。

其中，K>N.

例如，取K=2N。

则F的第一行仍然表示直流分量。第二行表示0.5Hz。第三行1Hz，第四行1.5Hz.

A=dftmtx(200);

F_o=A(:,1:100);

figure(2)

plot(x,real(F_o(1,:)),x,real(F_o(2,:)),x,real(F_o(3,:)));

legend( 'k=0' , 'k=1' , 'k=2' )

 

由于自相关性，许多傅里叶矩阵选择K=2N-1.

取N=100，则有如下结果

A1=dftmtx(199);

F1=A1(:,1:100);

figure(3)

plot(x,real(F1(1,:)),x,real(F1(2,:)),x,real(F1(3,:)));

legend( 'k=0' , 'k=1' , 'k=2' )