若 $u$ 和 $v$ 是非負實數，$p$ 和 $q$ 是正實數且滿足 $p,q > 1$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，則下列不等式成立：
$$uv \leq \frac{1}{p}u^{p} + \frac{1}{q}v^{q}$$
證明：
考慮函數 $f(x) = x^{p - 1}$，由於 $p > 1$，所以 $p - 1 > 0$，畫出它圖形的一種情形
很明顯，矩形的面積會小於等於陰影部分 $S_{1} + S_{2}$ 的面積，雖然只畫了一種圖形，其余情形都類似，其中
$S_{1}$：曲線 $y = f(x),x = 0,x = u,x$ 軸圍成區域的面積。
$S_{2}$：曲線 $y = f(x),y = 0,y = v,y$ 軸圍成區域的面積。
於是
$$uv \leq \int_{0}^{u}x^{p-1}dx + \int_{0}^{v}y^{\frac{1}{p-1}}dy = \frac{u^{p}}{p} + \frac{p-1}{p}v^{\frac{p}{p-1}} = \frac{u^{p}}{p} + \frac{v^{q}}{q}$$
證畢