若 $u$ 和 $v$ 是非负实数，$p$ 和 $q$ 是正实数且满足 $p,q > 1$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则下列不等式成立：
$$uv \leq \frac{1}{p}u^{p} + \frac{1}{q}v^{q}$$
证明：
考虑函数 $f(x) = x^{p - 1}$，由于 $p > 1$，所以 $p - 1 > 0$，画出它图形的一种情形
很明显，矩形的面积会小于等于阴影部分 $S_{1} + S_{2}$ 的面积，虽然只画了一种图形，其余情形都类似，其中
$S_{1}$：曲线 $y = f(x),x = 0,x = u,x$ 轴围成区域的面积。
$S_{2}$：曲线 $y = f(x),y = 0,y = v,y$ 轴围成区域的面积。
于是
$$uv \leq \int_{0}^{u}x^{p-1}dx + \int_{0}^{v}y^{\frac{1}{p-1}}dy = \frac{u^{p}}{p} + \frac{p-1}{p}v^{\frac{p}{p-1}} = \frac{u^{p}}{p} + \frac{v^{q}}{q}$$
证毕