绝对值不等式

acwing 104.货仓选址

https://www.acwing.com/problem/content/106/

 

 题意：需要在竖轴上选一个点，使该点到其他给出点的距离之和最小。将其抽象为数学公式$\left | x - c_1 \right |+\left | x-c_2 \right |+\left | x-c_3 \right |+\cdot \cdot \cdot \left | x-c_k \right |$，求该公式的最小值。

可以知道，该公式的最小值就是取$c_1, c_2, c_3,\cdot \cdot \cdot c_k$的中位数。

证明：

当只有一个点的时候，选在该点肯定为最小，当有两个点的时候，选在两个点中间的任何一个位置都为最小，当有三个点的时候，选在中间那个点的位置。我们将每个点两两分组。

①当$k$为奇数时，$x_1$和$x_k$一组，$x_2$和$x_{k -1}$一组，最后剩$x_{\frac{k + 1}{2}}$单独一组，可以知道，选择每一组中间的点都是最小的。而$x_{\frac{k + 1}{2}}$这一组要选在这个点上最小，所以选在$x_{\frac{k + 1}{2}}$上的时候，满足该组的值最小，也满足其他组的值最小，所以总和最小。

②当$k$为偶数时，每一组都是两两配对，选择每组中间的位置就最小值，而最靠近中心的两个点的那个区间，选择任意一个在该区间内的点，都可以做到使得每一组的答案最小。

思路：读入一个$a$数组，排序，找出中位数，用所有数减去中位数的绝对值相加即为答案。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;
int a[N];
int n;

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++)cin >> a[i];
    
    sort(a, a + n);
    int c = a[n / 2];
    
    int res = 0;
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++)res += abs(a[i] - c);
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}

 

 

acwing 122.糖果传递

https://www.acwing.com/problem/content/description/124/

 

 假设只向前方进行传递，设a_1传递的个数为x_1， 画出如图：

根据图，我们可以知道我们要求的就是公式$\left |x_1  \right |+\left | x_2 \right |+\cdot \cdot \cdot \left | x_n \right |$的最小值，而且我们可以写出一组公式

$\left\{\begin{matrix}a_1-x_1+x_2 = \bar{a}
& & & & \\ a_2-x_2+x_3=\bar{a}
& & & & \\ a_3-x_3+x_4=\bar{a}
& & & & \\ \cdot \cdot \cdot
& & & & \\a_n-x_n+x_1=\bar{a}
\end{matrix}\right.$

化简该公式：

$\left\{\begin{matrix}x_1=x_1 - 0
& & & \\ x_2=x_1-(a_1-\bar{a})
& & & \\ x_3=x_1-(a_1+a_2-2 \bar{a})
& & & \\ x_4 = x_1-(a_1+a_2+a_3 - 3\bar{a})
& & & \\ \cdot \cdot \cdot
& & & \\x_n=x_1-(a_1+a_2+\cdot \cdot \cdot a_{n-1}-(n-1)\bar{a})
\end{matrix}\right.$

可以看出，$x_1$后方的值可以看做常数项，将其设为$c$,

可以将公式再次化为：

$\left\{\begin{matrix}x_1=x_1 -c_1
& & & \\ x_2=x_1-c_2
& & & \\ x_3=x_1-c_3
& & & \\ x_4 = x_1-c_4
& & & \\ \cdot \cdot \cdot
& & & \\x_n=x_1-c_n
\end{matrix}\right.$

这样，题目就从求$\left |x_1  \right |+\left | x_2 \right |+\cdot \cdot \cdot \left | x_n \right |$的最小值，变成了求$\left |x_1 -c_1 \right |+\left | x_1-c_2 \right |+\cdot \cdot \cdot \left | x_1-c_n \right |$的最小值。转换为了求绝对值不等式的最小值。

思路：用递推的方式将数组$c$处理出，然后排序。循环与中位数相减将绝对值相加即为答案。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1000010;

int n;
int a[N];
LL c[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);

    LL sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) sum += a[i];

    LL avg = sum / n;
    for (int i = n; i > 1; i -- )
    {
        c[i] = c[i + 1] + avg - a[i];
    }
    c[1] = 0;

    sort(c + 1, c + n + 1);

    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);

    printf("%lld\n", res);

    return 0;
}

 

acwing 105.七夕祭

https://www.acwing.com/problem/content/107/

 

 分析题意知道，这道题目有一个性质是，只会改变相邻的两个数的位置，因此我们交换两个数，只会改变一行的喜爱小摊或者一列的喜爱小摊，而不会同时改变行和列的喜爱小摊，这样，我们就可以将这道题目分成两个部分，一部分是求行的最少次数，一部分是求列的最少次数。这样原问题就从二维的问题拆成了一维的问题，等于在竖直方向上和水平方向上做糖果传递。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1000010;

int n, m, T;
int col[N], row[N];
int s[N], c[N];

LL solve(int n, int r[])
{
    memset(s, 0, sizeof s);
    memset(c, 0 ,sizeof c);
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)s[i] = s[i - 1] + r[i];
    
    if(s[n] % n)return -1;
    
    int avg = s[n] / n;
    
    for(int i = 2 ; i <= n ; i ++)c[i] = s[i - 1] - (i - 1) * avg;
    
    sort(c + 1, c + n + 1);
    
    LL sum = 0;
    for(int i = 1 ;  i <= n ; i ++)sum += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);
    
    return sum;
}

int main(){
    
    cin >> n >> m >> T;
    
    while(T --)
    {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        row[x] ++, col[y] ++;
    }
    
    LL one = solve(n, row);
    LL two = solve(m, col);
    
    if(one != -1 && two != -1)cout << "both" << " " << one + two << endl;
    else if(one != -1)cout << "row" << " " << one;
    else if(two != -1)cout << "column" << " " << two;
    else cout << "impossible" << endl;
    
    return 0;
}