絕對值不等式

acwing 104.貨倉選址

https://www.acwing.com/problem/content/106/

 

 題意：需要在豎軸上選一個點，使該點到其他給出點的距離之和最小。將其抽象為數學公式$\left | x - c_1 \right |+\left | x-c_2 \right |+\left | x-c_3 \right |+\cdot \cdot \cdot \left | x-c_k \right |$，求該公式的最小值。

可以知道，該公式的最小值就是取$c_1, c_2, c_3,\cdot \cdot \cdot c_k$的中位數。

證明：

當只有一個點的時候，選在該點肯定為最小，當有兩個點的時候，選在兩個點中間的任何一個位置都為最小，當有三個點的時候，選在中間那個點的位置。我們將每個點兩兩分組。

①當$k$為奇數時，$x_1$和$x_k$一組，$x_2$和$x_{k -1}$一組，最后剩$x_{\frac{k + 1}{2}}$單獨一組，可以知道，選擇每一組中間的點都是最小的。而$x_{\frac{k + 1}{2}}$這一組要選在這個點上最小，所以選在$x_{\frac{k + 1}{2}}$上的時候，滿足該組的值最小，也滿足其他組的值最小，所以總和最小。

②當$k$為偶數時，每一組都是兩兩配對，選擇每組中間的位置就最小值，而最靠近中心的兩個點的那個區間，選擇任意一個在該區間內的點，都可以做到使得每一組的答案最小。

思路：讀入一個$a$數組，排序，找出中位數，用所有數減去中位數的絕對值相加即為答案。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;
int a[N];
int n;

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++)cin >> a[i];
    
    sort(a, a + n);
    int c = a[n / 2];
    
    int res = 0;
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++)res += abs(a[i] - c);
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}

 

 

acwing 122.糖果傳遞

https://www.acwing.com/problem/content/description/124/

 

 假設只向前方進行傳遞，設a_1傳遞的個數為x_1， 畫出如圖：

根據圖，我們可以知道我們要求的就是公式$\left |x_1  \right |+\left | x_2 \right |+\cdot \cdot \cdot \left | x_n \right |$的最小值，而且我們可以寫出一組公式

$\left\{\begin{matrix}a_1-x_1+x_2 = \bar{a}
& & & & \\ a_2-x_2+x_3=\bar{a}
& & & & \\ a_3-x_3+x_4=\bar{a}
& & & & \\ \cdot \cdot \cdot
& & & & \\a_n-x_n+x_1=\bar{a}
\end{matrix}\right.$

化簡該公式：

$\left\{\begin{matrix}x_1=x_1 - 0
& & & \\ x_2=x_1-(a_1-\bar{a})
& & & \\ x_3=x_1-(a_1+a_2-2 \bar{a})
& & & \\ x_4 = x_1-(a_1+a_2+a_3 - 3\bar{a})
& & & \\ \cdot \cdot \cdot
& & & \\x_n=x_1-(a_1+a_2+\cdot \cdot \cdot a_{n-1}-(n-1)\bar{a})
\end{matrix}\right.$

可以看出，$x_1$后方的值可以看做常數項，將其設為$c$,

可以將公式再次化為：

$\left\{\begin{matrix}x_1=x_1 -c_1
& & & \\ x_2=x_1-c_2
& & & \\ x_3=x_1-c_3
& & & \\ x_4 = x_1-c_4
& & & \\ \cdot \cdot \cdot
& & & \\x_n=x_1-c_n
\end{matrix}\right.$

這樣，題目就從求$\left |x_1  \right |+\left | x_2 \right |+\cdot \cdot \cdot \left | x_n \right |$的最小值，變成了求$\left |x_1 -c_1 \right |+\left | x_1-c_2 \right |+\cdot \cdot \cdot \left | x_1-c_n \right |$的最小值。轉換為了求絕對值不等式的最小值。

思路：用遞推的方式將數組$c$處理出，然后排序。循環與中位數相減將絕對值相加即為答案。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1000010;

int n;
int a[N];
LL c[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);

    LL sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) sum += a[i];

    LL avg = sum / n;
    for (int i = n; i > 1; i -- )
    {
        c[i] = c[i + 1] + avg - a[i];
    }
    c[1] = 0;

    sort(c + 1, c + n + 1);

    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);

    printf("%lld\n", res);

    return 0;
}

 

acwing 105.七夕祭

https://www.acwing.com/problem/content/107/

 

 分析題意知道，這道題目有一個性質是，只會改變相鄰的兩個數的位置，因此我們交換兩個數，只會改變一行的喜愛小攤或者一列的喜愛小攤，而不會同時改變行和列的喜愛小攤，這樣，我們就可以將這道題目分成兩個部分，一部分是求行的最少次數，一部分是求列的最少次數。這樣原問題就從二維的問題拆成了一維的問題，等於在豎直方向上和水平方向上做糖果傳遞。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1000010;

int n, m, T;
int col[N], row[N];
int s[N], c[N];

LL solve(int n, int r[])
{
    memset(s, 0, sizeof s);
    memset(c, 0 ,sizeof c);
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)s[i] = s[i - 1] + r[i];
    
    if(s[n] % n)return -1;
    
    int avg = s[n] / n;
    
    for(int i = 2 ; i <= n ; i ++)c[i] = s[i - 1] - (i - 1) * avg;
    
    sort(c + 1, c + n + 1);
    
    LL sum = 0;
    for(int i = 1 ;  i <= n ; i ++)sum += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);
    
    return sum;
}

int main(){
    
    cin >> n >> m >> T;
    
    while(T --)
    {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        row[x] ++, col[y] ++;
    }
    
    LL one = solve(n, row);
    LL two = solve(m, col);
    
    if(one != -1 && two != -1)cout << "both" << " " << one + two << endl;
    else if(one != -1)cout << "row" << " " << one;
    else if(two != -1)cout << "column" << " " << two;
    else cout << "impossible" << endl;
    
    return 0;
}