1. 關於三角形邊的不等式
關於三角形有一個常用的不等式，以下面的三角形為例：
$$a + b > c \\
a + c > b \\
b + c > a$$
上面的三個不等式很容易理解，兩點之間直線段最短，而兩邊之和相當於折線段，必然會小於直線段的長度。
上面三個不等式進行移項有
$$a > c - b \\
a > b - c \\
c > b - a \\
c > a - b \\
b > a - c \\
b > c - a$$
所以
$$a > | b - c | \\
c > | a - b | \\
b > | a - c |$$
即任意兩邊之差小於第三邊。
2. 向量三角不等式
這個不等式本質還是關於三角形三條邊的關系，可以由 $1$ 推得，不等式內容如下
$$||a| - |b|| \; \leq \; |a \pm b| \; \leq \; |a| + |b| $$
向量 $a + b$ 或者 $a - b$ 是由向量 $a$ 和向量 $b$ 構成的三角形的第三條邊，而向量取絕對值(取模)之后就是向量長度(邊長)。
所以上面的不等式本質就是三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
3. 絕對值三角不等式
這個不等式很容易理解，其內容如下
$$||a| - |b|| \; \leq \; |a \pm b| \; \leq \; |a| + |b| $$
其並不是從三角形的三邊關系推導而來，考慮 $a,b$ 的正負，將它們做加減，絕對值的和必然都是最大的，絕對值差的絕對值
必然都是最小的。可分類考慮。