三角不等式的解法

本文轉載自查看原文 2017-06-19 22:13 2925 03技巧方法/ 運算訓練

前言

廓清認知：由於三角不等式屬於超越不等式，故已經不能和解$x^2+3x+2>0$這樣的代數不等式的解法同日而語，此時必須借助圖像來解決；能借助的圖像有三角函數的圖像，還可以借助三角函數線來解決，以下用例題加以說明。

必備技能

函數圖像的解讀能力
作三角函數$y=sinx$和$y=cosx$的圖像、作正弦線、余弦線的能力
用不等式表達單位圓中區域的能力
用韋恩圖求交集的能力
轉化划歸能力

模型應用

例1 解三角不等式： $2sinx>1$.

法1：三角函數圖像法，將不等式變形為$sinx>\cfrac{1}{2}$，在同一個坐標系中做出函數$y=sinx$和$y=\cfrac{1}{2}$，

由於函數$y=sinx$有周期性，故需要不需要畫出其完整的圖像，只需要做出一個周期上的圖像就可以了，

如右圖所示，我們選取的周期是$[0，2\pi]$，從圖上可以看出，

當$sinx>\cfrac{1}{2}$時，在一個周期內的不等式的解是$\cfrac{\pi}{6}< x <\cfrac{5\pi}{6}$，

而題目中$x\in R$，故我們還需要做出拓展，那么怎么拓展呢？

函數$y=\cfrac{1}{2}$，自然是向左右兩端無限延伸的，

函數$y=sinx$也是向左右兩端按照周期$T=2\pi$的整數倍無限延伸的，

故滿足題意的不等式的解集絕不僅僅是上述解出的解集，

應該還有，就是把上述的解集也向左右兩端按照周期的整數倍延伸，

即$k \cdot 2\pi+\cfrac{\pi}{6}< x < k \cdot 2\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)$，

故所求的不等式的所有解集應該是$\{x\mid 2k\pi+\cfrac{\pi}{6}< x <2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}，k\in Z\}$；

或者$(2k\pi+\cfrac{\pi}{6}，2k\pi+\cfrac{5\pi}{6})(k\in Z)$ $\hspace{4em}$錯誤寫法：^[1]

法1的反思提升：

1、周期函數的周期一定要選$[0，2\pi]$嗎？

那倒不一定，原則上只要區間的長度為$2\pi$都可以，比如本題還可以選周期為$[-\pi，\pi]$，這樣我們可以看到在一個周期內的不等式的解集是連續的，便於我們的表達刻畫。

2、如果解$sinx<\cfrac{1}{2}$，周期怎么選？

此時如果還選$[0，2\pi]$，那就不好，由上圖我們可以看出，

此時一個周期內的解集有$[0，\cfrac{\pi}{6})$，還有$(\cfrac{5\pi}{6}，2\pi]$，兩個解集就沒有連續在一起，后續拓展表達很不方便；

那么我們怎么解決這一問題呢？只要選周期為$[\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{5\pi}{2}]$就可以，

此時一個周期內的解集就可以表達為$\cfrac{5\pi}{6}< x<\cfrac{13\pi}{6}$，

再拓展得到$R$上的解集為$2k\pi+\cfrac{5\pi}{6} < x<2(k+1)\pi+\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)$，

3、如何解不等式$sin(2x+\cfrac{\pi}{4})>\cfrac{1}{2}$？

此時，將整體$2x+\cfrac{\pi}{4}$看成上述解法中的$x$(整體思想)，

先得到$sinx>\cfrac{1}{2}$的解集為$2k\pi+\cfrac{\pi}{6}< x <2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)$；

然后回歸，得到$2k\pi+\cfrac{\pi}{6}< 2x+\cfrac{\pi}{4} <2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)$；

解上述的雙連不等式就得到不等式$sin(2x+\cfrac{\pi}{4})>\cfrac{1}{2}$的解集。

請自行解決。

4、如何解不等式：$\cfrac{1}{2}\cdot sinx+\cfrac{\sqrt{3}}{2}cosx>\cfrac{1}{2}$.

先將其轉化划歸為$sin(x+\cfrac{\pi}{3})>\cfrac{1}{2}$，然后仿照上例解決即可。

5、如何解不等式$2cosx\geqslant 1$；

其一可以借助函數$y=cosx$的圖像求解即可。其二，可以借助單位圓和三角函數線法；此時需要注意，解集的區間表示有難點。

如圖所示，滿足題意的角的終邊應該落在劣弧$AB$所對的扇形區域內，由於此時$x$軸的正半軸包含在其中，故表示時射線$OB$應該用$2k\pi-\cfrac{\pi}{3}$刻畫，射線$OA$應該用$2k\pi+\cfrac{\pi}{3}$刻畫，

即解集應該為$[2k\pi-\cfrac{\pi}{3},2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]$$(k\in Z)$，

【易錯】①好多學生在此容易錯誤的認為，射線$OB$應該用$2k\pi+\cfrac{5\pi}{3}$刻畫，此時是錯誤的，原因是若解集為$[2k\pi+\cfrac{5\pi}{3},2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]$$(k\in Z)$，明顯區間特點為左大右小，故錯誤；

②還有學生會糾結，為什么表示角的終邊在$y$軸負半軸時，可以用$2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}$$(k\in Z)$，也可以用$2k\pi-\cfrac{\pi}{2}$$(k\in Z)$，為什么上題中這樣使用就是錯誤的？原因是上題表示的結果是一個區域，邊界線射線$OB$不是孤立存在的，與別人有大小關系，故不能隨性所欲的表示；

③如何選取區域，做一條角的終邊落在某個區域內，然后驗證即可。角的終邊定區域[線性規划中，特殊點定區域]

[例1的法2]：三角函數線法，做出如右圖所示的單位圓，在$y$軸的正半軸找到$\cfrac{1}{2}$，

過此點做$x$軸的平行線與單位圓交於點$P$和點$Q$，

則$sinx=\cfrac{1}{2}$時的正弦線是$MP$和$NQ$，那么$sinx>\cfrac{1}{2}$時的角的終邊應該落在劣弧$OPQ$內部，

故在一個周期內的不等式的解是$\cfrac{\pi}{6}< x <\cfrac{5\pi}{6}$，

拓展后得到$R$上的解集為$\{x\mid k \cdot 2\pi+\cfrac{\pi}{6}< x < k \cdot 2\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\}$；

當然，如果是解不等式$sinx<\cfrac{1}{2}$ ，則角的終邊應該落在優弧$OPQ$內，

在一個周期內的不等式的解是$-\cfrac{7\pi}{6}< x <\cfrac{\pi}{6}$，

拓展后得到$R$上的解集為$\{x \mid k \cdot 2\pi-\cfrac{7\pi}{6}< x < k \cdot 2\pi+\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\}$；

化為模型

例2 解不等式：$2cos(2x+\cfrac{\pi}{3})<1$

提示：先想這樣的不等式怎么解？$2cosx<1$；

然后再思考$2cos(2x+\cfrac{\pi}{3})<1$怎么解即可。

例3 【可轉化為例2】
解不等式：$\cfrac{1}{2}\cdot sinx+\cfrac{\sqrt{3}}{2}cosx<\cfrac{1}{2}$.

看看例1中的提示就夠了。

綜合應用

例4 求函數$y=\lg sinx+\sqrt{\cos2x+\frac{1}{2}}$的定義域。

【解析】三角不等式常用兩種解法，利用三角函數線或者三角函數圖像，詳解如下：

【1、單位圓+三角函數線】

如圖所示，由正弦線可知，$sinx>0$得到：$x\in(2k\pi，2k\pi+\pi)(k\in Z)$

由余弦線可知，$cos2x\ge-\cfrac{1}{2}$

得到：$2x\in[2k\pi-\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}](k\in Z)$，

所以$x\in[k\pi-\cfrac{\pi}{3}，k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\\=[2k\pi-\cfrac{\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{4\pi}{3}](k\in Z)$，

求其交集得到$x\in(2k\pi，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\pi)(k\in Z)$

【2、三角函數法】轉化為解三角函數不等式組$\begin{cases} sinx> 0 \\ cos2x+\frac{1}{2}\ge 0\end{cases}$，

解不等式$sinx>0$

得到：$x\in(2k\pi，2k\pi+\pi)(k\in Z)$

解不等式$cos2x\ge-\cfrac{1}{2}$

得到：$2x\in[2k\pi-\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}](k\in Z)$，

所以$x\in[k\pi-\cfrac{\pi}{3}，k\pi+\cfrac{\pi}{3}](k\in Z)$，

求其交集得到$x\in(2k\pi，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\pi)(k\in Z)$

例5 【求三角不等式和其他不等式的交集】

求函數$f(x)=\sqrt{5-|x|}+log_a(sinx-\cfrac{1}{2})$的定義域。

分析：由題目可知，$|x|\leq 5①$，且$sinx>\cfrac{1}{2}②$

解①得到$-5\leq x\leq 5$；解②得到$2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)$，

二者求交集，如右圖所示，

得到定義域為$[-5，-\cfrac{7\pi}{6})\cup (\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6})$。

正切不等式

求直線的傾斜角取值范圍，本質是解正切型三角不等式。直線的傾斜角的范圍$\theta\in [0，\pi)$；

例4 直線$2xcos\alpha-y-3=0(\alpha\in [\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{\pi}{3}])$的傾斜角的變化范圍是【】

$A.[\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{\pi}{3}]$ $B.[\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{3}]$ $C.[\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{2})$ $D.[\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{2\pi}{3}]$

分析：設直線的傾斜角為$\theta$，則$k=tan\theta=2cos\alpha$，由於$\alpha\in [\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{\pi}{3}]$，則$2cos\alpha\in [1，\sqrt{3}]$，

即$k=tan\theta\in [1，\sqrt{3}]$，故$\theta\in [\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{3}]$，故選$B$.

例5 直線$xsin\alpha-y+1=0$的傾斜角的變化范圍是【】

$A.(0，\cfrac{\pi}{2})$ $B.(0，\pi)$ $C.[-\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{4}]$ $D.[0，\cfrac{\pi}{4}]\cup[\cfrac{3\pi}{4}，\pi)$

分析：設直線的傾斜角為$\theta$，則$k=tan\theta=sin\alpha\in [-1，1]$，又由於$\theta\in [0，\pi)$，

則$\theta\in [0，\cfrac{\pi}{4}]\cup[\cfrac{3\pi}{4}，\pi)$，故選$D$.

例6 【2014黃岡模擬】直線$l$經過$A(2，1)$、$B(1，m^2)(m\in R)$兩點，那么直線$l$的傾斜角的取值范圍為【】

$A.[0，\pi)$ $B.[0，\cfrac{\pi}{4}]\cup[\cfrac{3\pi}{4}，\pi)$ $C.[0，\cfrac{\pi}{4}]$ $D.[0，\cfrac{\pi}{4}]\cup(\cfrac{\pi}{2}，\pi)$

分析：由點$A(2，1)$、$B(1，m^2)$得到，$k=tan\theta=\cfrac{m^2-1}{1-2}=1-m^2\leqslant 1$，故$\theta\in [0，\cfrac{\pi}{4}]\cup(\cfrac{\pi}{2}，\pi)$，故選$D$.