不等式笔记

均值不等式

条件：\(a_i\ge0\)。

平方平均数：\(Q_n=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}{n}}\)

算数平均数：\(A_n=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}\)

几何平均数：\(G_n=\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}\)

调和平均数：\(H_n=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}\)

他们之间的关系：\(H_n\le G_n\le A_n\le Q_n\)，简称“调几算方”。

取等条件：\(a_1=a_2=\dots=a_n\)。

柯西不等式

\[(\sum_{i=1}^na_i^2)\times(\sum_{i=1}^nb_i^2)\ge(\sum_{i=1}^na_ib_i)^2 \]

取等条件：\(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\dots=\dfrac{a_n}{b_n}\) 或 \(a_1=a_2=\dots=a_n=0\) 或 \(b_1=b_2=\dots=b_n=0\)。

排序不等式

设 \(a_1\le a_2\le\dots\le a_n,b_1\le b_2\le\dots\le b_n\)，\(c_1,c_2,\dots,c_n\) 是 \(b_1,b_2,\dots,b_n\) 的乱序数列，则：

\[\sum_{i=1}^na_ib_{n+1-i}\le\sum_{i=1}^na_ic_i\le\sum_{i=1}^na_ib_i \]

取等条件：\(a_1=a_2=\dots=a_n\) 或 \(b_1=b_2=\dots=b_n\)。

杨氏不等式

若 \(a_i,b_i\ge0,p>1,\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\)，则：

\[ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q} \]

取等条件：\(a_p=b_q\)。

赫尔德不等式

若 \(a_i,b_i\ge0,p>1,\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\)，则：

\[\sum_{i=1}^na_ib_i\le\sqrt[p]{\sum_{i=1}^na_i^p}\times\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nb_i^q} \]

取等条件：\(\dfrac{a_1^p}{b_1^q}=\dfrac{a_2^p}{b_2^q}=\dots=\dfrac{a_n^p}{b_n^q}\)，或 \(a_1=a_2=\dots=a_n=0\)，或 \(b_1=b_2=\dots=b_n=0\)。