之前發現了線性變換和線性映射對應矩陣的求法和找他們的相似形和相抵形，我們會發現，如果可以把一個線性變換對應的矩陣對角化，那么它比較便於我們進行一些運算，（比如乘方冪次，比如可以和多項式相結合），但是對角化有比較嚴苛的條件： 特征子空間的維數之和需要等於線性變換A所對應的空間V的維數n，也就是說並不是所有線性變換都可以對角化，比如高階冪零矩陣，而且相似的不變量有秩，跡，特征多項式等，但是仍然不夠細化的區分線性變換，這時我們就要用另一種工具來分相似類。
對於一個矩陣A（線性變換A），它的特征多項式一定是零化多項式（Hamilton-Cayley定理）那么它的最小多項式f(x)=(x-a)^i1*(x-b)^i2*……*(x-z)^in; 這個多項式的特征值就是a~~z，在每一個特征值下的限制映射對應的矩陣必然相似於一個Jordan標准形J, J有n-rank（A-λI）個Jordan塊，其中t級Jordan塊的數目N=rank（A-λI）^(t+1)+rank（A-λI）^(t-1)-2*rank（A-λI）^(t), 要注意的點有：Jordan形既可以指jordan塊構成的分塊對角矩陣也可以指Jordan形構成的分塊對角矩陣，對於一個特征值我們可以找到一個標准Jordan形，那么我們可以通過找特征值的方式找到若干個標准Jordan形，（通過基的變換對應矩陣的變化，映射本身是不變的），組成的分塊對角矩陣也是這個映射下的矩陣，也就是說我們可以通過特征值找到一個矩陣的Jordan標准形，這個標准形是一個上三角矩陣，相對於隨意的矩陣形式顯然更好處理。
相同Jordan塊對應的最小多項式一定相同（比較特殊的考慮以零為對角線元素的Jordan塊Ji，這是個冪零矩陣，它的冪零指數就可以對應最小多項式的次數，如果對角線元素是λ1，那么就讓這個Jordan塊Ji減去λ1*I，就仍然得到了一個冪零矩陣），這里的證明有用到強循環子空間（或者參見王萼芳教授的高等代數有對Jordan標准形的證明）。
Jordan標准形是對角化的進一步擴張，對角矩陣可以看做由n個一階Jordan塊構成的Jordan標准形，也就不難看出這兩者之間的關系了
Jordan標准形中比較重要的一點是每一個Jordan塊對應的基向量，我們取Ker（A）的一個基α1……αn （這里假定的A是冪零映射，也就是Jordan塊的對角元素為零，如果其他的形式，則將A 換成A-λI即可變成這樣的冪零映射）， 這些基一定可以找到原象，也可以找到原象的原象，也就對應形成了一個不變子空間< A^[-(n-1)]* α1， A^[-(n-2)] *α1，……，α1 >,不難發現這個空間中每一次的A的映射就是一個Jordan塊 （注，由於A^n=0,故A^(-n)不存在，這里的逆映射僅用於理解事實上這個映射的象不止一個，我們只是用這種表達形式表示一個找原象的過程，且找到一個原象就可以滿足對應的關系了（非零哦））那么Jordan標准形就是這個線性映射在這樣（所有的不變子空間的的基）所構成的新基下的矩陣，也就不難理解為什么所有Jordan塊的個數是Ker（A）的維度了。以及不同級數的Jordan塊的個數與秩的關系的證明方法（分出一個小的冪零映射，利用數學歸納法就可以證明了）