對於一個線性空間U到線性空間V的映射， 可以取定U的一個基α1，α2——αn，由於U中每一個向量都可以由U的基線性表出，那么V中每一個對應U中一個向量α的象β就一定可以由U的基的象的線性組合表出，那么一個映射就完全由它原空間的一個基的象確定，我們在用矩陣表示線性映射的時候其實是選定了U的一組基，然后將U的每個基向量的象用V中基向量來線性表出，
這里線性映射是從一個向量到另一個向量，這里的向量是廣義的，只要在線性空間里的元素就可以是向量，（比如可以是一個數字，一個矢量，也可以是一個矩陣，）一定要注意的一點是，一個線性映射對應的矩陣是由選取的U和V的基所決定的，也就是說映射對應的矩陣其實應該是兩個不同空間的基的對應關系，如果有基的變換那么對應的矩陣也要進行變換。
由於空間里的向量可以用選定的基向量和在這個基下的坐標確定（我們在這里將向量量化了，即賦予坐標以實際意義），那么U中向量α的坐標便代表了在U中表示這個向量的線性組合，如此由上面矩陣的定義可以清楚，用映射對應的矩陣右乘一個坐標x1的列向量就可以把這個線性組合對應到V的基向量上，也就是我們如果用另一個在V中的坐標x2表示α的象β，那么Ax1=x2，A是這個線性映射對應的矩陣，即我們都用坐標來表示向量的話，矩陣告訴我們怎樣轉換可以將U中α的坐標變成映射之后V中β的坐標。（這也是兩個基用行向量來表示基向量組然后右乘矩陣得到另一個基向量組的原因，不可以把左乘右乘搞混）
若（α1， α2，·····， αn）S=（γ1，γ2·····，γn）為U中基的變換，（β1，β2，····，βm）Q=（δ1，δ2，·······，δm），
則變換兩個空間的基之后映射A所對應的矩陣就是Q^-1·A·S，（自己做一下推導就可以得出）。
由於一個映射完全由它的原象空間的基的象決定，那么線性映射是將一個線性空間變成另一個線性空間，但是這種映射可能使線性空間降維，不可能升維，因為原象空間的基的數目確定了，無法升維。
在這里的線性映射是兩個空間之間的，那么一個空間到它自己本身的映射（線性變換）又是什么樣的呢？
由上可以猜測就是S^-1*A*S
今天看過一些視頻再記錄一下比較便於理解線性映射的解釋：
像上述映射在基的變換下看似十分不同，但是應該看到基的變換其實應該是用不同的坐標來表示一個線性空間中相同的向量，那么在這里就可以看到對於一個坐標X=（x1,x2,……，xn）^T, 一個基α=（α1， α2，·····， αn）下表示的向量就是αX ，（就是基的線性組合），但是我們如果要用另一個基γ=（γ1，γ2·····，γn）=（α1， α2，·····， αn）S來表示同一個向量的話，坐標Y（γ下）滿足這樣的關系γY=αSY=αX， 可以看到X=SY， 那么S的作用就是把在γ基下的坐標翻譯為在α基下的坐標（因為總有一些坐標系的基非常便於表示任何一個向量而且計算比較容易，沒錯我覺得就是正交基，非常親切自然，，，，），那么線性映射中不同基的變換下的映射所對應的矩陣的變換Q^-1·A·S的解釋可以是這樣的：對於任何一個坐標X（基變換之后），我們先左乘S，SX就是我們可以確定的映射A（這是我們已經確定的，知道原象和象空間的基和映射的矩陣）對應的U中的坐標（翻譯成A可以接受的向量坐標，因為A接受的向量的基是變換之前的α）這樣再進行A這個映射的到沒有對象變換基之前的在象對應空間里的坐標ASX，這個坐標是A直接產生的象的坐標，它的基是β=（β1，β2，····，βm），我們不知道這個象在δ=（δ1，δ2，·······，δm）下的坐標，那怎么辦呢？我們可以把δ下的坐標左乘Q翻譯成β下的坐標，那么反過來就要對β下的坐標左乘Q^-1翻譯成δ下的坐標，這樣就是Q^-1* A *S 就是把一個在γ下的坐標表示的向量映射到δ下的坐標所對應的這個映射（映射它從來就沒有變過~~）所對應的矩陣。
至於線性變換中的基，線性變換映射前后所對應的都是一個基，所以就沒有像從一個空間到另一個空間的映射那么復雜。