這兩天學了學線性基，覺得這個東西還挺有意思的，想發一下博客，講一下自己的一些收獲。。
學習參考：
ljh2000：http://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/5869991.html
網上的神犇：http://blog.csdn.net/qaq__qaq/article/details/53812883
對於一個數集$V$，它的線性基$\beta$是它的一個子集，滿足$\beta$中所有數互相異或得到的集合等價於$V$中所有數互相異或得到的集合。也就是說，$\beta$可以看成是$V$的壓縮。
線性基有一些性質：
1.線性基的異或集合中不存在0。也就是說，$\beta$是$V$中線性無關的極大子集。（這些概念以后再補吧。。）
2.線性基中每個元素的異或方案唯一，也就是說，線性基中不同的異或組合異或出的數都是不一樣的。這個與性質1其實是等價的。
3.線性基的二進制最高位互不相同。
4.如果線性基是滿的，它的異或集合為$[1,2^{n}-1]$。
5.線性基中元素互相異或，異或集合不變。
那么，我們如何維護一個線性基呢？
插入
插入很簡單，當我們插入一個數時，從高位到低位依次枚舉當前線性基的每個元素。
如果我們插入的數x&當前位為1，那么我們分情況討論：
如果線性基當前位沒有元素，那么把當前位賦為x，並break；否則x^線性基當前位。
那么我們可以發現，插入x的最終結局是：要么x被選入線性基中；要么x最后變成了0，說明x已經可以通過線性基中的元素異或出來了。
1 il void add(RG ll x){ 2 for (RG ll i=62;i>=0;--i) 3 if (x>>i&1){ 4 if (!p[i]){ p[i]=x; break; } 5 x^=p[i]; 6 } 7 return; 8 }
合並線性基與插入類似，將另一個線性基暴力插入一個線性基即可。
查詢存在性
相當於插入的操作，如果x最后變成了0，說明x已經存在於線性基的異或集合中了。
查詢異或集合中最大值
從高位到低位掃描。如果當前res^p[i]能使得答案變大，那么就異或。最后得到的res就是線性基異或集合中的最大值。
1 il ll getmax(){ 2 RG ll res=0; 3 for (RG ll i=62;i>=0;--i) 4 if (res<(res^p[i])) res^=p[i]; 5 return res; 6 }
查詢異或集合中最小值
最小值就是線性基中最低位的數。
查詢異或集合中k小值
我們考慮改造一下線性基，使得每一位互相獨立。
如果j<i，且p[i]的第j位是1，就把p[i]^p[j]。
這樣，對於二進制的每一位i。只有p[i]這一位是1，其他的都是0。
同樣，根據性質5，這個線性基的本質也是沒有改變的。
我們查詢的時候，將k進行二進制拆分，如果第i位是1，就異或上線性基中第i個元素，最終得出的答案就是k小值（這個貪心該怎么證呢。。）
1 il void rebuild(){ 2 for (RG ll i=62;i>=0;--i) 3 for (RG ll j=i-1;j>=0;--j) 4 if (p[i]>>j&1) p[i]^=p[j]; 5 for (RG ll i=0;i<=62;++i) if (p[i]) d[cnt++]=p[i]; 6 return; 7 } 8 9 il ll query_kth(RG ll k){ 10 if (k>=(1LL<<cnt)) return -1; RG ll res=0; 11 for (RG ll i=62;i>=0;--i) 12 if (k>>i&1) res^=d[i]; 13 return res; 14 }
線性基大概就是這些操作吧。。感覺自己還不是很理解其中的一些操作，不過光是記下來還是很容易的。。