線性基

線性基是一個可以在 \(\log\) 的時間復雜度內高效處理子集異或問題的數據結構。

准確來說，對於一個集合 \(S\) ，其最大元素為 \(S_{max}\) ，那么 \(S\) 有一個長度為 \(\lceil\log_2 S_{max}\rceil\) 的線性基。

設原集合 \(S\) 的線性基為 \(A\)

定義： \(A_i\) 是出現 1 的最高位在第 \(i\) 位的數。

性質 1： \(S\) 中若干個任意數的異或和均能被表示成 \(A\) 中一些元素的異或和。

性質 2： \(A\) 是滿足性質 1 的最小集合。

性質 3： \(A\) 中沒有異或和為 0 的子集。這意味着其異或集合中每個元素的異或方案唯一。

性質 4： \(S\) 與 \(A\) 值域相同。

性質 5： \(A\) 中元素二進制最高位互不相同。

代碼

暫時只實現了線性基的部分功能（待填坑）

class LinearBasis {
private:
	long long a[65];
	const static int maxbit = 63;
public:
	bool insert(long long x) {
		for (int i=maxbit; i>=0; --i) {
			if (x >> i) {
				if (a[i]) x ^= a[i];
				else return a[i] = x, true;
			}
		} return false;
	}
    void merge(const LinearBasis& xx) {
        for (int i=maxbit; i>=0; --i)
            if(xx.a[i]) insert(xx.a[i]);
	}
	bool check(long long x) const {
		for (int i=maxbit; i>=0; --i) {
			if (x >> i) {
				if (a[i]) x ^= a[i];
				else return true;
			}
		} return false;
	}
	long long max() const {
		long long res = 0LL;
		for (int i=maxbit; i>=0; --i)
			if ((res ^ a[i]) > res)
				res ^= a[i];
		return res;
	}
	long long min() const {
		for (int i=0; i<=maxbit; ++i)
			if (a[i]) return a[i];
	}
};