線性基求交

參考資料：牛客題解

即對於兩個線性空間\(V_1,V_2\)，求它們的交\(V_1\cap V_2\)

首先，兩個線性空間的交顯然還是線性空間

引理：若 \(V_1,V_2\) 是線性空間，\(B_1,B_2\) 分別是他們的一組基，令 \(W=B_2 \cap V_1\) ，若 \(B_1 \cup (B2 \setminus W)\) 線性無關，則 \(W\) 是 \(V_1 \cap V_2\) 的一組基。

證明：考慮任意\(v\in V_1\cap V_2\)，那么\(v\)可以同時被\(B_1\)和\(B_2\)表示出。考慮如何證明\(v\)可以被\(W\)線性表示。我們假設不能，那么\(v\)一定可以被\(S\)和\(T\)共同線性表示，其中\(S\in W,T\in B_2\setminus W\)，且其中\(T\)不為空。那么此時\(T\)一定與\(B_1\)線性相關，與我們的假設不符。所以上述假設成立

但是 \(B_1 \cup (B_2 \setminus W)\) 有可能線性相關，這時我們只需要換一組基即可。

假如當前加入的元素為 \(x\) ，若 \(x\) 不能被 \(B_1 \cup B'_2\) 表示，那么直接在 \(B_2'\) 中加入 \(x\) 即可；否則 \(x\) 一定能被 \(B_1 \cup (B_2' \setminus W)\) 的恰好一個子集表示，設 \(x=\text{xor(S) ^ xor(T)}\) ，其中 \(S \subseteq B_1,T \subseteq B_2' \setminus W\) ，在 \(B_2'\) 中加入 \(\text{xor(S)}\) 即可，且此時\(S\in W\)，在\(W\)中也加入\(S\)即可

總復雜度\(O(d^2)\)，其中\(d\)為維數

#define int unsigned int
Base merge(Base a,Base b){
	Base na(a),tmp(a),gl;
	int cur,d;
	fp(i,0,31)if(b[i]){
		cur=0,d=b[i];
		fd(j,i,0)if(d>>j&1){
			if(tmp[j]){
				d^=tmp[j],cur^=na[j];
				if(d)continue;
				gl[i]=cur;
			}else tmp[j]=d,na[j]=cur;
			break;
		}
	}
	return gl;
}