线性基

线性基是一个可以在 \(\log\) 的时间复杂度内高效处理子集异或问题的数据结构。

准确来说，对于一个集合 \(S\) ，其最大元素为 \(S_{max}\) ，那么 \(S\) 有一个长度为 \(\lceil\log_2 S_{max}\rceil\) 的线性基。

设原集合 \(S\) 的线性基为 \(A\)

定义： \(A_i\) 是出现 1 的最高位在第 \(i\) 位的数。

性质 1： \(S\) 中若干个任意数的异或和均能被表示成 \(A\) 中一些元素的异或和。

性质 2： \(A\) 是满足性质 1 的最小集合。

性质 3： \(A\) 中没有异或和为 0 的子集。这意味着其异或集合中每个元素的异或方案唯一。

性质 4： \(S\) 与 \(A\) 值域相同。

性质 5： \(A\) 中元素二进制最高位互不相同。

代码

暂时只实现了线性基的部分功能（待填坑）

class LinearBasis {
private:
	long long a[65];
	const static int maxbit = 63;
public:
	bool insert(long long x) {
		for (int i=maxbit; i>=0; --i) {
			if (x >> i) {
				if (a[i]) x ^= a[i];
				else return a[i] = x, true;
			}
		} return false;
	}
    void merge(const LinearBasis& xx) {
        for (int i=maxbit; i>=0; --i)
            if(xx.a[i]) insert(xx.a[i]);
	}
	bool check(long long x) const {
		for (int i=maxbit; i>=0; --i) {
			if (x >> i) {
				if (a[i]) x ^= a[i];
				else return true;
			}
		} return false;
	}
	long long max() const {
		long long res = 0LL;
		for (int i=maxbit; i>=0; --i)
			if ((res ^ a[i]) > res)
				res ^= a[i];
		return res;
	}
	long long min() const {
		for (int i=0; i<=maxbit; ++i)
			if (a[i]) return a[i];
	}
};