高等代數：5 矩陣的相抵與相似

5 矩陣的相抵與相似

5.1 等價關系與集合的划分

1、設S,M是兩個集合，則集合 \(\{(a,b)|a \in S,b \in W\}\) 稱為S與M的笛卡兒積，記作：\(S \times M\)。

2、定義1：設S是一個非空集合，我們把\(S \times S\)的一個子集W叫做S上的一個二元關系。如果\(a,b)\in W\)，那么稱a與b有W關系；反之沒有W關系。當a與b有W關系時，記作aWb，或\(a\sim b\)。

3、定義2：集合S上的一個二元關系\(\sim\)如果具有下述性質：\(\forall a,b,c\in S\)，有

\[\begin{aligned} &(1)a\sim a &（反身性）；\\ &(2)a\sim b\implies b\sim a& （對稱性）；\\ &(3)a\sim b且b\sim c \implies a\sim c &（傳遞性）。 \end{aligned} \]

那么稱\(\sim\)是S上的一個等價關系。

4、定義3：設\(\sim\)是S上的一個等價關系，\(a\in S\)，令

\[\bar{a}\xlongequal{\text{def}}\{x\in S|x\sim a\}, \]

則稱\(\bar{a}\)是由\(a\)確定的等價類。

事實1：\(a\in \bar{a}於是也把\bar{a}稱為a的等價類。\)

事實2：\(x\in bar{a}\iff x\sim a.\)

事實3：\(\bar{x}=\bar{y}\iff x\sim y.\)

5、定理1：設\(\sim\)是集合S上的一個等價關系，任取\(a,b\in S\)，則\(\bar{a}=\bar{b}\)或者\(\bar{a}\cap\bar{b}=\varnothing\).

6、定義4：如果集合S是一些非空子集\(S_i（i\in I，這里I表示指標集）\)的並集，並且其中不相等的子集一定不相交，那么稱集合\(\{S_i|i\in I\}\)是S的一個划分，記作：\(\pi(S)\)。

7、定理2：設\(\sim\)是集合S上的一個等價關系，則所有等價類組成的集合是S的一個划分，記作：\(\pi_\sim(S)\)。

8、定義5：設\(\sim\)是集合S上的一個等價關系。由所有等價類組成的集合稱為S對於關系\(\sim\)的商集，記作：\(S/\sim\)。

5.2 矩陣的相抵

1、定義1：對於數域K上\(s \times n\)矩陣A和B，如果從A經過一系列初等行變換和初等列變換能變成矩陣B，那么稱A與B是相抵的，記作：\(A\overset{相抵}{\sim}B\)。

容易驗證相抵是\(M_{s \times n}(K)\)上的一個等價關系。在相抵關系下，矩陣A的等價類稱為A的相抵類。

事實1：數域K上\(s \times n\)矩陣A和B相抵

\[\begin{aligned} \iff&A可以經過初等行變換和初等列變換變成B，\\ \iff&存在K上s級初等矩陣P_1,P_2,\dots,P_t與n級初等矩陣Q_1,Q_2,\dots,Q_m，使得\\ &P_t\dots P_2P_1AQ_1Q_2\dots Q_m=B.\\ \iff&存在K上s級可逆矩陣P與n級可逆矩陣Q，使得：\\ &PAQ=B.&(1) \end{aligned} \]

2、定理1：設數域K上\(s \times n\)矩陣A的秩為r。如果\(r>0\)，那么A相抵於下述形式的矩陣：

\[\begin{pmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{pmatrix},\tag{2} \]

稱矩陣（2）為A的相抵標准形；如果r=0，那么A相抵於零矩陣，此時稱A的相抵標准形是零矩陣。

3、定理2：數域K上\(s \times n\)矩陣A和B相抵當且僅當它們的秩相等。

4、推論1：設數域K上\(s \times n\)矩陣A的秩為\(r(r>0)\)，則存在K上的s級、n級可逆矩陣P、Q，使得

\[A=P\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}Q.\tag{3} \]

5.3 廣義逆矩陣

1、定理1：設A是數域K上\(s \times n\)非零矩陣，則矩陣方程

\[AXA=A\tag{1} \]

一定有解。如果\(tank(A)=r\)，並且

\[A=P\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}Q.\tag{2} \]

其中P、Q分別是K上s級、n級可逆矩陣，那么矩陣方程（2）的通解為

\[X=Q^{-1}\begin{pmatrix}I_r&B\\C&D\end{pmatrix}P_{-1}\tag{3} \]

其中B、C、D分別是數域K上任意的\(r \times (s-r),(n-r) \times r,(n-r)\times (s-r)\)矩陣。

2、定義1：設A是數域K上\(s \times n\)矩陣，矩陣方程AXA=A的每一個解都稱為A的一個廣義逆矩陣，簡稱A的廣義逆，用\(A^-\)表示A的任意一個廣義逆。

任意一個\(s \times n\)矩陣都是\(0_{s \times n}\)的廣義逆。

3、定理2（非齊次線性方程組的相容定理）：非齊次線性方程組\(AX=\beta\)有解的充分必要條件是：

\[\beta=AA^-\beta.\tag{4} \]

4、定理3（非齊次線性方程組的解的結構定理）：非齊次線性方程組\(AX=\beta\)有解時，它的通解為：

\[X=A^-\beta.\tag{5} \]

5、定理4（齊次線性方程組的解的結構定理）：數域K上n元齊次線性方程組AX=0的通解為：

\[X=(I_n-A^-A)Z.\tag{6} \]

其中\(A^-\)是A的任意給定的一個廣義逆，Z取遍\(K^n\)中任意列向量。

推論1：設數域K上n元非齊次線性方程組\(AX=\beta\)有解，則它的通解為

\[X=A^-\beta+(I_n-A^-A)Z.\tag{7} \]

其中\(A^-\)是A的任意給定的一個廣義逆，Z取遍\(K^n\)中任意列向量。

6、定義2：設A是復數域上\(s \times n\)矩陣，矩陣方程組

\[\begin{cases} AXA&=A\\ XAX&=X\\ (AX)^*&=AX\\ (XA)^*&=XA \end{cases}\tag{8} \]

稱為A的Penrose 方程組，它的解稱為A的Moore-Penrose 廣義逆，記作：\(A^+\)。（8）式中\((AX)^*\)表示把AX的每個元素取共軛復數得到的矩陣再轉置。

7、定理5：如果A是復數域上\(s \times n\)非零矩陣，A的 Penrose 方程組總是有解，並且它的解唯一。設A=BC，其中B、C分別是列滿秩與行滿秩矩陣，則 Penrose 方程組的唯一解是

\[X=C^*(CC^*)^{-1}(B^*B)^{-1}B^*.\tag{9} \]

5.4 矩陣的相似

1、定義1：設A與B都是數域K上n級矩陣，如果存在數域K上一個n級可逆矩陣P，使得

\[P^{-1}AP=B,\tag{1} \]

那么稱A與B是相似的，記作：\(A\sim B\)。

相似關系是一種等價關系，相似關系下的等價類稱為相似類。相似具有下列性質：

性質1：如果\(B_1=P^{-1}A_1P,\,B_2=P^{-1}A_2P\)，那么

\[\begin{aligned} B_1+B_2&=P^{-1}(A_1+A_2)P,\\ B_1B_2&=P^{-1}(A_1A_2)P,\\ B_1^m&=P^{-1}A_1^mP, \end{aligned} \]

其中m是正整數。

性質2：相似的矩陣其行列式的值相等。

性質3：相似的矩陣或者都可逆，或者都不可逆；當他們可逆時，它們的你矩陣也相似。

性質4：相似的矩陣有相等的秩。

2、定義2：n級矩陣\(A=(a_{ij})\)的主對角線上元素的和稱為A的跡，記作 tr(A)。即

\[tr(A)=a_{11}+a_{22+\dots+a_{nn}}\tag{2} \]

命題1：矩陣的跡具有下列性質：

\[\begin{aligned} tr(A+B)&=tr(A)+tr(B),\\ tr(kA)&=k\cdot tr(A),\\ tr(AB)&=tr(BA). \end{aligned} \]

由此可見，矩陣的跡是從矩陣乘法的非交換性中提取的可交換的量。

性質5：相似的矩陣有相等的跡。

性質2、4、5表明：矩陣的行列式、秩、跡都是相似關系下的不變量，簡稱為相似不變量。

3、如果n級矩陣A能夠相似於一個對角矩陣，那么稱A可對角化。

定理1：數域K上n級矩陣可對角化的充分必要條件是，\(K^n\)中有n個線性無關的列向量\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\)，以及K中有n個數\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\)（它們之中有些可能相等），使得

\[A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i,\qquad i=1,2,\dots,n.\tag{3} \]

這時，令\(P=（\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n）\)，則

\[P^{-1}AP=diag\{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\}.\tag{4} \]

5.5 矩陣的特征值和特征向量

1、定義1：設A是數域K上n級矩陣，如果\(K^n\)中有非零列向量\(\alpha\)，使得

\[A\alpha=\lambda_0\alpha,且\lambda_0\in K, \]

那么稱\(\lambda_0\)是A的一個特征值，稱向量\(\alpha\)是A的屬於特征值\(\lambda_0\)的一個特征向量。

如果\(\alpha\)是A的屬於特征值\(\lambda_0\)的一個特征向量，那么顯然，當\(k\not=0時，k\alpha\)也是A的屬於特征值\(\lambda_0\)的一個特征向量。

注意：零向量不是A的特征向量。

\[\begin{aligned} &\lambda_0是A的一個特征值，\alpha是A的屬於\lambda_0的一個特征向量\\ \iff&A\alpha=\lambda_0\alpha,\alpha\not=\bold 0,\lambda_0\in K\\ \iff&(\lambda_0I-A)\alpha=\bold 0,\alpha\not=\bold 0,\lambda_0\in K\\ \iff&\alpha 是齊次線性方程組(\lambda_0I-A)X=\bold 0的一個非零解，\lambda_0\in K\\ \iff&|\lambda_0I-A|=0,\alpha 是(\lambda_0I-A)X=\bold 0的一個非零解，\lambda_0\in K\\ \iff&\lambda_0是多項式|\lambda I-A|在K中的一個根，\alpha 是(\lambda_0I-A)X=\bold 0的一個非零解。 \end{aligned} \]

把\(|\lambda I-A|\)稱為A的特征多項式。

2、定理1：設A是數域K上n級矩陣，則

\[\begin{aligned} &(1)\lambda_0 是A的一個特征值當且僅當\lambda_0是A的特征多項式|\lambda I-A|在K中的一個根；\\ &(2)\alpha 是A的屬於特征值\lambda_0的一個特征向量當且僅當\alpha是齊次線性方程組(\lambda_0I-A)X=\bold 0的一個非零解。 \end{aligned} \]

設\(\lambda_0\)是A的一個特征值，把齊次線性方程組\((\lambda_0I-A)X=\bold 0\)的解空間稱為A的屬於\(\lambda_0\)的特征子空間，其中全部非零向量就是A的屬於\(\lambda_0\)的全部特征向量。

相似矩陣性質：

性質1：相似的矩陣具有相等的特征多項式。

性質2：相似的矩陣有相同的特征值（包括重復特征值數量，簡稱重數相同）。

由性質1、2看出，矩陣的特征多項式和特征值都是相似不變量。

命題1：設A是數域K上n級矩陣，則A的特征多項式\(|\lambda I-A|\)是一個n次多項式，\(\lambda^n\)的系數是1，\(\lambda^{n-1}\)的系數是等於-tr(A)，常數項為\((-1)^n|A|，\lambda^{n-k}\)的系數為A的所有k階主子式的和乘以\((-1)^k,1\leqslant k<n\)。

3、定義2：設A是數域K上n級矩陣，\(\lambda_1\)是A的一個特征值。把A的屬於\(\lambda_1\)的特征子空間的維數叫做特征值\(\lambda_1\)的幾何重數，而把\(\lambda_1\)作為作為A的特征多項式的根的重數叫做\(\lambda_1\)的代數重數，把代數重數簡稱為重數。

命題2：設\(\lambda_1\)是數域K上n級矩陣A的一個特征值，則\(\lambda_1\)的幾何重數不超過它的代數重數。

5.6 矩陣可對角化的條件

1、定理1：數域K上n級矩陣A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\)，此時

\[\begin{aligned} &令&P&=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n),\\ &則&P^{-1}AP&=diag\{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n \}, \end{aligned} \]

其中\(\lambda_i\)是\(\alpha_i\)所屬的特征值，\(i=1,2,\dots,n\)。上述對角矩陣稱為A 的相似標准形，除了主對角線上元素的排列次序外，A的相似標准形是唯一的。

2、定理2：設\(\lambda_1,\lambda_2\)是數域K上n級矩陣A的不同的特征值，\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s與\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r\)分別是A的屬於\(\lambda_1,\lambda_2\)的線性無關的特征向量，則\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r\)線性無關。

3、定理3：設\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m\)是數域K上n級矩陣A的不同的特征值，\(\alpha_{j1},\dots,\alpha_{jr_j}\)是A的屬於\(\lambda_j\)的線性無關的特征向量，\(j=1,2,\dots,m\)。則向量組

\[\alpha_{11},\dots,\alpha_{ar_1},\dots\dots,\alpha_{m1},\dots,\alpha_{mr_m} \]

線性無關。

推論1：n級矩陣A的屬於不同特征值的特征向量是線性無關的。

4、定理4：數域K上n級矩陣A可對角化的充分必要條件是：A的屬於不同特征值的特征子空間的維數之和等於n。

推論2：數域K上n級矩陣A如果有n個不同的特征值，那么A可對角化。

5、定理5：數域K上n級矩陣A可對角化的充分必要條件是：A的特征多項式的全部復根都屬於K，並且A的每個特征值的幾何重數等於它的代數重數。

5.7 實對稱矩陣的對角化

1、定義1：實數域上的矩陣簡稱為實對稱矩陣。

定理1：實對稱矩陣的特征多項式的每一個復根都是實數，從而它們都是特征值。

2、定理2：實對稱矩陣A的屬於不同特征值的特征向量是正交的。

3、定義2：如果對於n級實矩陣A、B，存在一個n級正交矩陣T，使得\(T^{-1}AT=B\)，那么稱A正交相似於B。

定理3：實對稱矩陣一定正交相似於對角矩陣。

命題1：如果n級實矩陣A正交相似於一個對角矩陣D，那么A一定是對稱矩陣。

命題2：兩個n級實對稱矩陣正交相似的充分必要條件是它們相似。