當 \(A\) 有足夠的特征向量的時候，我們有 \(S^{-1}AS=\Lambda\)。在這部分，\(S\) 仍然是最好的選擇，但現在我們允許任意可逆矩陣 \(M\)，矩陣 \(A\) 和 \(M^{-1}AM\) 稱為相似矩陣，並且不管選擇哪個 \(M\)，特征值都保持不變。
1. 相似矩陣
假設 \(M\) 是任意的可逆矩陣，那么 \(B = M^{-1}AM\) 相似於矩陣 \(A\)。
也就是說如果 \(B\) 相似於 \(A\)，那么 \(A\) 也相似於 \(B\)。如果 \(A\) 可以對角化，那么 \(A\) 相似於 \(\Lambda\)，它們肯定具有相同的特征值。
相似的矩陣 \(A\) 和 \(M^{-1}AM\) 具有相同的特征值，如果 \(x\) 是 \(A\) 的一個特征向量，那么 \(M^{-1}x\) 是 \(B = M^{-1}AM\) 的特征向量。
所有具有特征值 1 和 0 的 2×2 矩陣都是相似的，特征向量會隨着 \(M\) 而改變，但特征值不變。上面的例子中特征值是不重復的，這種情況很好辦，但如果有重復的特征值就會比較困難了。
這些 \(B\) 都和 \(A\) 一樣行列式為 0，秩為 1，一個特征值為 0，並且矩陣的跡為 0，所以另一個特征值也為 0。但零矩陣不和它們相似，因為只有零矩陣自己和自己相似。
從 \(A\) 到 \(B=M^{-1}AM\)，有一些東西會改變一些則不變。
相似矩陣的特征值不變，矩陣的跡為特征值的和也不變，矩陣的行列式為特征值的乘積也不變，矩陣的秩不變，針對每個特征值的特征向量數目不變。
2. 若爾當形（Jordan Form）
上面的矩陣有三個特征值 5,5,5 在它的對角線上，唯一的特征向量是 (1, 0, 0) 的倍數，代數重數為 3，幾何重數為 1。每個和它相似的矩陣 \(B=M^{-1}AM\) 都有三重特征值 5,5,5，\(B-5I\) 的秩也為 2，零空間的維度為 1。和這個若爾當塊 \(J\) 相似的矩陣都只有一個不相關的特征向量 \(M^{-1}x\)。
此外，\(J^T\) 和 \(J\) 相似，並且此時的矩陣 \(M\) 正好是反恆等矩陣。
由於 \(J\) 是我們能得到的最接近於對角矩陣的形式，方程 \(d\boldsymbol u/dt=J\boldsymbol u\) 不能再進一步被簡化，我們必須直接利用回帶法解決。
對於每個 \(A\)，我們想要選擇一個 \(M\) 來使得 \(M^{-1}AM\) 盡可能接近對角形式。當 \(A\) 有 \(n\) 個特征向量的時候，它們成為 \(M\) 的列，然后 \(M=S\)，\(S^{-1}AS=\Lambda\) 是對角矩陣。在一般情況下，特征向量會缺失，我們並不能完全對角化。假設 \(A\) 有 \(s\) 個不相關的特征向量，那么它相似於一個有 \(s\) 個塊的矩陣，每個塊都像上面的矩陣 \(J\) 一樣，特征值位於對角線上，並且元素 1 正好位於對角線上面，其中每個塊對應於一個特征值。如果有 \(n\) 個特征向量 \(n\) 個塊，那所有的塊都是 1×1 的，\(J\) 也就變成了 \(\Lambda\)。
\(A\) 相似於 \(B\) 如果它們具有相同的若爾當形 \(J\)，其它情況都不符合。
對於每一個相似矩陣族，我們挑選出一個最特別的成員稱為 \(J\)，這個族中其它的每個矩陣都可以表示為 \(A=MJM^{-1}\)。這時候，我們有 \(MJM^{-1}MJM^{-1}=MJ^2M^{-1}\)，因此我們依然可以用 \(MJ^{100}M^{-1}\) 來求解 \(A^{100}\)。
相似性的核心在於——讓矩陣變得盡可能簡單但同時保留它的必要屬性。
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