Jordan標准型矩陣的定義很簡單，矩陣比較多，不好打，略過。
Jordan標准型與最小多項式有密切關系。
定理1
若矩陣\(J\)為矩陣\(A\)的若當標准型矩陣，\(\lambda\)是任意數字，則對一切正整數\(n\)，有 \(Rank(A-\lambda I)^k = Rank(J-\lambda I)^k\)。
證明定理1可以根據Jordan的由來證明，即存在可逆矩陣\(P\)使得\(P^{-1}AP=J\)，乘可逆矩陣不改變秩。
定理2
若 \(M=\left( \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix}\right)\)，則矩陣 \(M, A, B\)的最小多項式為之間有關系：\(m_M(\lambda)=[m_A(\lambda), m_B(\lambda)]\)，中括號代表取最小公倍數。
定理3
假設矩陣\(A\)的最小多項式是\(m(\lambda)=\prod_{i=1}^s(\lambda - \lambda_i)^{r_i}\)，則\(r_i\)即使\(A\)的Jordan標准型中以\(\lambda_i\)為主對角元的最高階數。特別地，\(A\)相似於對角陣\(\iff\) \(A\)的最小多項式無重根。
題目
根據矩陣\(A\)及其特征多項式求\(A\)的Jordan標准型。
\[A = \left(\begin{matrix} -1 & -2 & 6\\ -1 & 0 & 3\\ -1 & -1 & 4 \end{matrix}\right), B = \left(\begin{matrix} 13 & 16 & 16\\ -5 & -7 & -6\\ -6 & -8 & -7 \end{matrix}\right)\\ C_A(x)=(x-1)^3, C_B(x)=(x+3)(x-1)^2 \]
解答
通常要求矩陣的Jordan標准型，可以分為以下步驟：
- 求原矩陣的特征值；
- 以特征值為對角線元素，結合定理1（秩）或定理3（最小多項式）確定若當標准型。
可以寫出，\(A\)的特征值為1,1,1，可能的Jordan標准型有三個，如下：
\[J_1= \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right), J_2= \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right), J_3= \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)\\ \]
- 下面逐一判斷。如果是\(J_1\)，則存在可逆矩陣\(P\)，使得\(A=P^{-1}J_1P=I\)，顯然與\(A\)不相等，排除；
- 計算秩，\(Rank(A-1I)=1\)，顯然\(Rank(J_2-1I)=1, Rank(J_3-1I)=2\)，所以\(J_2\)是矩陣\(A\)的Jordan標准型。這里說顯然，是真的顯然，對於Jordan矩陣，減去特征值，根據非零行和列即可馬上判斷出秩。
對於矩陣\(B\)，最終求出的結果是
\[J_B = \left(\begin{matrix} -3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)\\ \]
對角線元素可交換算作是同一個Jordan標准型。