將學習到什么
練習一下如何把一個矩陣化為 Jordan 標准型.
將矩陣化為 Jordan 標准型需要三步：
- 第一步 求出矩陣 \(A \in M_n\) 全部的特征值 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_t\), 假設有 \(t\) 個不同的特征值
- 第二步 Jordan 標准型定理 中的推論告訴我們：\(w_k(A,\lambda)-w_{k+1}(A,\lambda)\) 是以 \(\lambda\) 為特征值且階恰好為 \(k\) 的 Jordan 塊的個數. 我們就利用這個公式計算出以 \(\lambda\) 為特征值，階為 \(\ell\) 的個數， \(\ell, \ell=1,2,\cdots\) 逐次計算. 以 \(\lambda\) 為特征值的 Jordan 塊階數之和等於特征值 \(\lambda\) 的代數重數，由此可知是否已經找出全部以 \(\lambda\) 為特征值的 Jordan 塊
- 第三步 將所獲得的 Jordan 塊按任意次序排列成 Jordan 矩陣.
例 1
將矩陣
\begin{align}
A=\begin{bmatrix} 2 & 6 & -15 \\ 1 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -6 \end{bmatrix}
\end{align}
化為 Jordan 標准型.
第一步：求特征值
矩陣 \(A\) 的特征多項式為
\begin{align}
\lvert \lambda I-A \rvert =\begin{bmatrix} \lambda-2 & -6 & 15 \\ -1 & \lambda-1 & 5 \\ -1 & -2 & \lambda+6 \end{bmatrix} =(\lambda+1)^3
\end{align}
所以它只有一個特征值 \(\lambda_1=-1\), 代數重數為 3.
第二步：求 Jordan 塊
對 \(\lambda_1=-1\), 令
\begin{align}
B=A-\lambda_1 I = A+I =\begin{bmatrix} 3 & 6 & -15 \\ 1 & 2 & -5 \\ 1 & 2 & -5 \end{bmatrix}, \qquad B^2=0
\end{align}
所以以 \(\lambda_1\) 為特征值階為 1 的 Jordan 塊的個數為
\begin{align}
w_1(A,\lambda_1)-w_2(A,\lambda_1)=[n-r_1(A,\lambda_1)] - [r_1(A,\lambda_1)-r_2(A,\lambda_1)] = [3-1]-[1-0]=1
\end{align}
其中 $r_k(A,\lambda)=\mathrm{rank} (A-\lambda I)^k, \quad r_0(A,\lambda):=n $, \(n\) 為方陣 \(A\) 的大小.
同理，以 \(\lambda_1\) 為特征值階為 2 的 Jordan 塊的個數為
\begin{align}
w_2(A,\lambda_1)-w_3(A,\lambda_1)=[r_1(A,\lambda_1)-r_2(A,\lambda_1)] - [r_2(A,\lambda_1)-r_3(A,\lambda_1)] = [1-0]-[0-0]=1
\end{align}
上面兩個 Jordan 塊階數之和為 3，等於 \(\lambda_1\) 的重數，因而不再存在以 \(\lambda_1\) 為特征值的其它 Jordan 塊. 因矩陣 \(A\) 沒有其它特征值，故 Jordan 塊求解完畢.
第三步：組成 Jordan 矩陣
只有一個重數為 3 的特征值 \(\lambda_1=-1\)，一階二階各一個，所以矩陣 \(A\) 的 Jordan 標准型為
\begin{align}
J=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix}
\end{align}
例 2
將矩陣
\begin{align}
A=\begin{bmatrix} 3 & -4 & 0 & 2 \\ 4 & -5 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \end{bmatrix}
\end{align}
化為 Jordan 標准型.
矩陣 \(A\) 的特征多項式為
\begin{align}
\lvert \lambda I-A \rvert =\begin{bmatrix} \lambda-3 & 4 & 0 & -2 \\ -4 & \lambda+5 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda-3 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & \lambda+1 \end{bmatrix}= (\lambda+1)^2(\lambda-1)^2
\end{align}
所以它有兩個特征值 \(\lambda_1=-1\) 和 \(\lambda_2=1\), 代數重數都為 2.
第二步：求 Jordan 塊
對 \(\lambda_1=-1\), 令
\begin{align}
B_1=A-\lambda_1 I = A+I &=\begin{bmatrix} 4 & -4 & 0 & 2 \\ 4 & -4 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_1=3 \\
B_1^2 &=\begin{bmatrix} 0 & 0 &12 & -8 \\ 0 & 0 & 8 & -4 \\ 0 & 0 & 12 & -8 \\ 0 & 0 & 8 & -4 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_1^2=2 \\
B_1^3 &=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 32 & -24 \\ 0 & 0 & 24 & -16 \\ 0 & 0 & 32 & -24 \\ 0 & 0 & 24 & -16 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_1^3=2
\end{align}
所以以 \(\lambda_1\) 為特征值階為 1 的 Jordan 塊的個數為
\begin{align}
w_1(A,\lambda_1)-w_2(A,\lambda_1)=[n-r_1(A,\lambda_1)] - [r_1(A,\lambda_1)-r_2(A,\lambda_1)] = [4-3]-[3-2]=0
\end{align}
以 \(\lambda_1\) 為特征值階為 2 的 Jordan 塊的個數為
\begin{align}
w_2(A,\lambda_1)-w_3(A,\lambda_1)=[r_1(A,\lambda_1)-r_2(A,\lambda_1)] - [r_2(A,\lambda_1)-r_3(A,\lambda_1)] = [3-2]-[2-2]=1
\end{align}
上面第二個 Jordan 塊階數為 2，等於 \(\lambda_1\) 的重數，所以以 \(\lambda_1\) 為特征值的 Jordan 塊求解完畢.
對 \(\lambda_2=1\), 令
\begin{align}
B_2=A-\lambda_2 I = A-I &=\begin{bmatrix} 2 & -4 & 0 & 2 \\ 4 & -6 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_2=3 \\
B_2^2 &=\begin{bmatrix} -12 & 16 & 12 & -16 \\ -16 & 20 & 16 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_2^2=2 \\
B_2^3 &=\begin{bmatrix} 40 & -48 & -40 & 48 \\ 48 & -56 & -48 & 56 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{rank}\,B_2^3=2
\end{align}
所以以 \(\lambda_2\) 為特征值階為 1 的 Jordan 塊的個數為
\begin{align}
w_1(A,\lambda_2)-w_2(A,\lambda_2)=[n-r_1(A,\lambda_2)] - [r_1(A,\lambda_2)-r_2(A,\lambda_2)] = [4-3]-[3-2]=0
\end{align}
以 \(\lambda_2\) 為特征值階為 2 的 Jordan 塊的個數為
\begin{align}
w_2(A,\lambda_2)-w_3(A,\lambda_2)=[r_1(A,\lambda_2)-r_2(A,\lambda_2)] - [r_2(A,\lambda_2)-r_3(A,\lambda_2)] = [3-2]-[2-2]=1
\end{align}
上面第二個 Jordan 塊階數為 2，等於 \(\lambda_2\) 的重數，所以以 \(\lambda_2\) 為特征值的 Jordan 塊求解完畢.
由 Jordan 標准型定理 的式 (6) 知，矩陣 \(B^k\), \(k>2\) 的秩不會再變化了，即次數大於特征值的最大的 Jordan 塊的階數時不再變化，最少為 \(n\) 減去 \(\lambda\) 的最大的 Jordan 塊的階數，這里也就是 2.
第三步：組成 Jordan 矩陣
以 \(\lambda_1=-1\) 和 \(\lambda_2=1\)為特征值的 Jordan 塊各是一個二階的，所以矩陣 \(A\) 的 Jordan 標准型為
\begin{align}
J=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0&0&0& 1\end{bmatrix}
\end{align}