串聯型PID，並聯型PID與標准型PID簡要說明

本文轉載自查看原文 2021-01-28 10:06 530 算法-控制算法

PID廣泛應用於工業生產各個環節，然而對於不同PID結構會有一些差異，導致在調參時若按照常規的經驗調試，結果將會有非常大的不同。

串聯型PID（Serial PID）

串聯型PID的三個環節由比例，積分和微分項串級而成，結構簡圖如下：

Serial PID

其傳遞函數為：
$G_{serial}(s) = k(1+\frac{1}{s\tau_{i}})(1+s\tau_{d}) \tag{1-1}$
若使用后向歐拉法將其離散化，即將：
$s=\frac{1-z^{-1}}{T_s} \tag{1-2}$
帶入式(1-1)中，可得到：
$out(m)=out(m-1)+Aerr(m)+Berr(m-1)+Cerr(m-2) \tag{1-3}$
其中：

$out(m)$ —— 第m時刻控制器輸出
$err(m)$ —— 第m時刻的誤差
$T_s$ —— 離散化控制周期
$A = \frac{k(T_s^2+T_s\tau_d+\tau_i\tau_d+\tau_iT_s)}{\tau_iT_s}$
$B = -\frac{k(T_s\tau_d+2\tau_i\tau_d+\tau_i T_s)}{\tau_iT_s}$
$C = \frac{k\tau_d}{T_s}$

式(1-3)即為串聯型PID的離散化增量式實現。利用遞推的方法可得到絕對式實現如下：
$out(m)=A\sum_{n=2}^{m}{err(n)}+B\sum_{n=1}^{m-1}{err(n)}+C\sum_{n=0}^{m-2}{err(n)} \tag{1-4}$

並聯型PID（Parallel PID）

並聯型PID的三個環節由比例，積分和微分項並聯而成，其結構簡圖如下：

Parallel PID

其傳遞函數為：
$G_{parallel}(s) = k_{p} + \frac{k_{i}}{s} + k_{d}s \tag{2-1}$
串聯型與並聯型二者的系數有所不同，其關系如下：
$k_{p} = k(1 + \frac{\tau_{d}}{\tau_{i}}) \\ k_{i} = \frac{k}{\tau_{i}} \\ k_{d} = k\tau_{d} \tag{2-2}$
使用后向歐拉離散化，可得到並聯型PID的離散化增量式實現如下：
$out(m)=out(m-1)+k_p(err(m)-err(m-1))+k_iT_s err(m)+\frac{k_d}{T_s}(err(m)-2err(m-1)+err(m-2)) \tag{2-3}$
若使用Tustin方式離散化，即將：
$s=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1} \tag{2-4}$
帶入式(2-1)中，並將 $k_d$ 置為0，可得到：
$out(m)=out(m-1)+(k_p+\frac{T_sk_i}{2})err(m)+(\frac{T_sk_i}{2}-k_p)err(m-1) \tag{2-5}$
此即為並聯型PI的離散化增量式實現。同樣利用遞推的方法可以得到絕對式實現如下：
$out(m)=k_perr(m)+k_iT_s\sum_{n=1}^{m}{err(n)}+\frac{k_d}{T_s}(err(m)-err(m-1)) \tag{2-6}$

標准型PID（Standard or mixed or Ideal PID）

標准型PID與上述二者都不同，其結構簡圖如下：

Standard PID

其傳遞函數為：
$G_{standard}(s) = K_{p}(1 + \frac{1}{sT_{i}} + sT_{d}) \tag{3-1}$
此時有：
$K_{p} = k(1 + \frac{\tau_{d}}{\tau_{i}}) \\ T_{i} = \tau_{i} + \tau_{d} \\ T_{d} = \frac{\tau_{d}\tau_{i}}{\tau_{d} + \tau_{i}} \tag{3-2}$
使用后向歐拉離散化方法，可得到標准型PID的離散化增量式實現：
$out(m)=out(m-1)+K_p(err(m)-err(m-1))+\frac{K_p}{T_i}T_s err(m)+\frac{K_pT_d}{T_s}(err(m)-2err(m-1)+err(m-2)) \tag{3-3}$
若使用Tustin方式離散化，並將 $K_d$ 置0，則得到標准型PI的離散化增量式實現：
$out(m)=out(m-1)+(K_p+\frac{K_pT_s}{2T_i})err(m)+(\frac{K_pT_s}{2T_i}-K_p)err(m-1) \tag{3-4}$
式(3-4)即為TI的快速電流環(FCL)中速度優化型PI控制器實現原理。值得注意的是，FCL中的各變量均為標幺值，因此實際實現需要稍作轉換，即：
$K_{p標幺}=K_p*\frac{I_{base}}{V_{base}} \\ K_{i標幺}=K_i \tag{3-5}$
其中：

$V_{base}$ —— 電壓標幺基值
$I_{base}$ —— 電流標幺基值

最后，使用同樣的遞推法，可以得到絕對式實現：
$out(m)=K_p err(m) + \frac{K_p}{T_i}T_s\sum_{n=1}^{m}err(n)+\frac{K_pT_d}{T_s}(err(m)-err(m-1)) \tag{3-6}$

三者區別

三者最重要的區別在於不同結構的參數對於控制器行為影響的不同。並聯型PID實現了比例項，積分項和微分項的完全解耦，調節其中的 $k_{p},k_{i}$ 與 $k_{d}$ 即可獨立的作用在比例，積分和微分項上；而標准形式的 $K_{p}$ 將同時影響比例，積分和微分三項行為。串聯型類似。工業應用中，標准形式和並聯形式的PID應用的最為廣泛，且Simulink中也可以看到，PID的形式選擇分為Parallel及Ideal（即Standard）：

Simulink Parallel PID

Simulink Ideal(Standard) PID
值得注意的是比例項和積分項都與前文相同，而微分項，MATLAB中用 $D*N*s/(s+N)$ 代替了純微分項 $Ds$ 。將其化簡可以得到：
$Ds*\frac{1}{\frac{1}{N}s+1} \tag{4-1}$
前面 $Ds$ 為正常的微分項，后面則乘上了一個一階低通濾波器，而 $N$ 即為低通截止頻率，對於Ideal類型的控制器，此即為改進型標准PID。該部分的離散化與標准型PID描述相同，唯一的差別在於微分項需要經過一次濾波處理。此處給出絕對式的兩種實現（改進型並聯PID同理），實現一（先濾波，后微分）：
$out(m)=K_perr(m)+\frac{K_p}{T_i}T_s\sum_{n=1}^{m}err(n)+\frac{K_pT_d}{T_s}(filter_{err}(m)-filter_{err}(m-1)) \tag{4-2}$
其中：
- $filter_{err}(m)=K1*err(m)+K2*filter_{err}(m-1)$
- $K1=\frac{2\pi NT_s}{1+2\pi NT_s}$
- $K2=\frac{1}{1+2\pi NT_s}$
實現二（先微分，后濾波）：
$out(m)=K_p err(m)+\frac{K_p}{T_i}T_s\sum_{n=1}^{m}err(n)+U_d(m) \tag{4-3}$
其中：
- $U_d(m)=K1*[\frac{K_p T_d}{T_s}(err(m)-err(m-1))]+K2*U_d(m-1)$
- $K1=\frac{2\pi NT_s}{1+2\pi NT_s}$
- $K2=\frac{1}{1+2\pi NT_s}$