關於相似標准型的講解, 通常的高等代數教材都是先引入 $\lambda$-矩陣的概念, 將數字矩陣 $A$ 的相似問題轉化為特征矩陣 $\lambda I-A$ 的相抵問題來考慮, 然后再求出 $\lambda I-A$ 的法式、不變因子組和初等因子組, 最后便可得到矩陣的有理標准型和 Jordan 標准型. 這種講授方法十分通用, 也十分適合初學者, 因為它在證明標准型的存在性和唯一性的基礎上, 還給出了標准型的具體計算方法. 唯一不足的地方是在將數字矩陣 $A$ 的相似問題轉化為特征矩陣 $\lambda I-A$ 的相抵問題時, 過渡比較生硬, 缺乏進一步的說明, 讓初學者覺得不甚理解. 事實上, 要真正理解這一過渡, 需要主理想整區上的模理論, 但接受這一理論對大一學生來說過於困難. 因此, 不利用 $\lambda$-矩陣的知識, 而直接給出標准型的存在性證明, 這也是一個折中的辦法.
Part I--我們先給出有理標准型的直接證明, 為此先證明一個引理, 就是思考題 9 (6), 這里我們給出一個利用線性空間理論的簡潔證法.
引理 設 $A$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 階方陣, $m(x)$ 是 $A$ 的極小多項式, 則存在 $\mathbb{K}^n$ 中的非零向量 $v$, 使得 $v$ 的極小多項式 $m_v(x)$ 等於 $m(x)$.
證明 由思考題 9 (1) 可知, $m_v(x)\mid m(x)$. 用反證法來證明, 設對任一 $0\neq v\in\mathbb{K}^n$, $v$ 的極小多項式 $m_v(x)$ 都是 $m(x)$ 的非常數首一真因式. 不妨設 $m(x)$ 的所有非常數首一真因式為 $m_1(x),m_2(x),\cdots,m_r(x)$, 令 $$V_i=\{v\in\mathbb{K}^n\mid m_i(A)v=0\},\,\,\,\,1\leq i\leq r,$$ 容易驗證 $V_i$ 都是 $\mathbb{K}^n$ 的子空間, 並由假設可知 $\mathbb{K}^n=\cup_{i=1}^rV_i$. 若 $V_i$ 都是 $\mathbb{K}^n$ 的真子空間, 則由教材習題 3.9.11 可知 $\mathbb{K}^n\neq\cup_{i=1}^rV_i$, 矛盾. 因此至少有一個 $V_i$ 是全空間 $\mathbb{K}^n$, 從而對任意的 $v\in\mathbb{K}^n$, $m_i(A)v=0$ 都成立, 於是 $m_i(A)=0$. 注意到 $m_i(x)$ 是 $m(x)$ 的真因式, 這與 $m(x)$ 是 $A$ 的極小多項式矛盾. $\Box$
定理 設 $A$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 階方陣, 則存在 $\mathbb{K}$ 上的非異陣 $P$, 使得 $$P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{F(d_k(x)),F(d_{k-1}(x)),\cdots,F(d_1(x))\},$$ 其中 $d_i(x)$ 是非常數首一多項式, $d_i(x)\mid d_{i+1}(x)\,(1\leq i\leq k-1)$, $F(d_i(x))$ 是相伴於 $d_i(x)$ 的友陣.
證明 對 $A$ 的階數 $n$ 進行歸納. 當 $n=1$ 時, 結論顯然成立. 設階數小於 $n$ 時結論成立, 現證 $n$ 階矩陣 $A$ 的情形. 設 $A$ 的極小多項式為 $m(x)$, $\deg m(x)=m$. 根據友陣的性質可知, $F(d_i(x))$ 的極小多項式是 $d_i(x)$, 再由極小多項式的性質可知, 若定理的結論為真, 則 $$m(x)=[d_k(x),d_{k-1}(x),\cdots,d_1(x)]=d_k(x).$$ 由引理的結論可知, 存在 $\alpha\in\mathbb{K}^n$, 使得 $\alpha$ 的極小多項式等於 $A$ 的極小多項式 $m(x)$, 令 $d_k(x)=m(x)$. 再由思考題 9 (2) 的結論可知, $\alpha,A\alpha,\cdots,A^{m-1}\alpha$ 是循環子空間 $C(A,\alpha)$ 的一組基, 並且 $A$ 限制在 $C(A,\alpha)$ 上在這組基下的表示矩陣是 $F(d_k(x))$. 將 $\alpha,A\alpha,\cdots,A^{m-1}\alpha$ 擴張為 $\mathbb{K}^n$ 的一組基 $\{\alpha,A\alpha,\cdots,A^{m-1}\alpha,\beta_1,\cdots,\beta_{n-m}\}$, 則有 $$A(\alpha,A\alpha,\cdots,A^{m-1}\alpha,\beta_1,\cdots,\beta_{n-m})=(\alpha,A\alpha,\cdots,A^{m-1}\alpha,\beta_1,\cdots,\beta_{n-m})\begin{pmatrix} F(d_k(x)) & * \\ 0 & B \\ \end{pmatrix},\cdots\cdots (1)$$ 其中 $B$ 是 $\mathbb{K}$ 上的 $n-m$ 階矩陣. 由歸納假設, 存在 $\mathbb{K}$ 上的 $n-m$ 階非異陣 $Q$, 使得 $$Q^{-1}BQ=\mathrm{diag}\{F(d_{k-1}(x)),\cdots,F(d_1(x))\},$$ 其中 $d_i(x)$ 是非常數首一多項式, $d_i(x)\mid d_{i+1}(x)\,(1\leq i\leq k-2)$. 特別地, $d_{k-1}(x)$ 是 $B$ 的極小多項式. 由 (1) 式可知 $A$ 相似於 $\begin{pmatrix} F(d_k(x)) & * \\ 0 & B \\ \end{pmatrix}$, 從而由 $m(A)=0$ 可得 $m(B)=0$, 再由極小多項式的性質可得 $d_{k-1}(x)\mid m(x)=d_k(x)$. 令 $$P=(\alpha,A\alpha,\cdots,A^{m-1}\alpha,\beta_1,\cdots,\beta_{n-m})\begin{pmatrix} I_m & 0 \\ 0 & Q \\ \end{pmatrix}=(\alpha,A\alpha,\cdots,A^{m-1}\alpha,\gamma_1,\cdots,\gamma_{n-m}),$$ 則 $$AP=P\begin{pmatrix} F(d_k(x)) & * & \cdots & * \\ & F(d_{k-1}(x)) & & \\ & & \ddots & \\ & & & F(d_1(x)) \\ \end{pmatrix}.\cdots\cdots (2)$$ 對比定理的結論, 我們只要證明: 可以適當地選取線性無關的列向量替換 $\{\gamma_1,\cdots,\gamma_{n-m}\}$, 使得消去 (2) 式右邊矩陣第一行中的 $*$ 號, 最終得到所需的分塊對角陣 $\mathrm{diag}\{F(d_k(x)),F(d_{k-1}(x)),\cdots,F(d_1(x))\}$. 由於每個分塊 $F(d_i(x))$ 的討論都是類似的, 故我們只對 $F(d_{k-1}(x))$ 進行處理.
設 $d_{k-1}(x)=x^t+c_{t-1}x^{t-1}+\cdots+c_1t+c_0$, 則 $$F(d_{k-1}(x))=\begin{pmatrix} & & & -c_0 \\ 1 & & & -c_1 \\ & \ddots & & \vdots \\ & & 1 & -c_{t-1} \end{pmatrix},$$ 於是由 (2) 式可得 $$A\gamma_i=g_i(A)\alpha+\gamma_{i+1}\,(1\leq i\leq t-1),\,\,\,\,A\gamma_t=g_t(A)\alpha-c_0\gamma_1-c_1\gamma_2-\cdots-c_{t-1}\gamma_t,$$ 其中 $g_i(x)\,(1\leq i\leq t)$ 都是由 $*$ 號決定的次數小於 $m$ 的多項式. 上述等式不斷迭代, 可得 $$\gamma_i=A^{i-1}\gamma_1+h_i(A)\alpha\,(1\leq i\leq t), \cdots\cdots(3)$$ $$d_{k-1}(A)\gamma_1=h(A)\alpha, \cdots\cdots(4)$$ 其中 $h_i(x),h(x)$ 是多項式. 設 $m(x)=d_k(x)=u(x)d_{k-1}(x)$, 由於 $m(A)=0$, 故在 (4) 式兩邊同時左乘 $u(A)$ 可得 $$0=m(A)\gamma_1=u(A)d_{k-1}(A)\gamma_1=u(A)h(A)\alpha.$$ 由於 $\alpha$ 的極小多項式是 $m(x)$, 故由思考題 9 (1) 可得 $m(x)\mid u(x)h(x)$, 從而 $d_{k-1}(x)\mid h(x)$. 設 $h(x)=d_{k-1}(x)v(x)$, 則由 (4) 式可得 $d_{k-1}(A)(\gamma_1-v(A)\alpha)=0$. 令 $\delta=\gamma_1-v(A)\alpha$, 我們斷言 $\{\alpha,A\alpha,\cdots,A^{m-1}\alpha,\delta,A\delta,\cdots,A^{t-1}\delta\}$ 必線性無關, 否則由 (3) 式容易驗證 $\{\alpha,A\alpha,\cdots,A^{m-1}\alpha,\gamma_1,\cdots,\gamma_t\}$ 必線性相關, 這與假設矛盾. 由上述向量組線性無關也可推出 $\{\delta,A\delta,\cdots,A^{t-1}\delta\}$ 線性無關, 從而 $d_{k-1}(x)$ 是 $\delta$ 的極小多項式. 相同的討論可以對所有的分塊 $F(d_i(x))$ 同時進行, 因此我們找到了 $\mathbb{K}^n$ 的一組新基, 它們拼成了非異陣 $P$, 使得定理的結論成立. $\Box$
Part II--Jordan 標准型的直接證明已經在新白皮書的 $\S$ 7.2.10 中給出了, 下面我們給出新白皮書的例 7.63 的另一個歸納法的證明, 這個證明雖然技巧性不強, 但清晰易懂.
命題 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的冪零線性變換 (即存在正整數 $N$, 使得 $\varphi^N=0$), 則存在 $V$ 的一組基, 使得 $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為 $\mathrm{diag}\{J_{r_1}(0),J_{r_2}(0),\cdots,J_{r_k}(0)\}$.
證明 對 $V$ 的維數進行歸納. 當 $n=1$ 時, 結論顯然成立. 設維數小於 $n$ 時結論成立, 現證 $n$ 維的情形. 注意到 $\varphi$ 是不可逆線性變換, 故 $\mathrm{Im}\varphi$ 的維數小於 $n$, 將 $\varphi$ 限制在 $\mathrm{Im}\varphi$ 上, 由歸納假設可知, 存在 $\mathrm{Im}\varphi$ 的一組基 $\{\varphi^{s_1-1}(u_1),\cdots,\varphi(u_1),u_1;\varphi^{s_2-1}(u_2),\cdots,\varphi(u_2),u_2;\cdots;\varphi^{s_t-1}(u_t),\cdots,\varphi(u_t),u_t\}$, 使得 $\varphi|_{\mathrm{Im}\varphi}$ 的表示矩陣為 $\mathrm{diag}\{J_{s_1}(0),J_{s_2}(0),\cdots,J_{s_t}(0)\}$, 其中 $u_i\in\mathrm{Im}\varphi$, $\varphi^{s_i}(u_i)=0\,(1\leq i\leq t)$. 注意到 $\varphi^{s_1-1}(u_1),\varphi^{s_2-1}(u_2),\cdots,\varphi^{s_t-1}(u_t)$ 線性無關並都屬於 $\mathrm{Ker}\varphi$, 故可將它們擴張為 $\mathrm{Ker}\varphi$ 的一組基 $\{\varphi^{s_1-1}(u_1),\varphi^{s_2-1}(u_2),\cdots,\varphi^{s_t-1}(u_t),w_1,\cdots,w_m\}$. 設 $u_i=\varphi(v_i)\,(1\leq i\leq t)$, 由上述兩組基的線性無關性容易驗證: 向量組 $$\Gamma=\{\varphi^{s_1}(v_1),\cdots,\varphi(v_1),v_1;\varphi^{s_2}(v_2),\cdots,\varphi(v_2),v_2;\cdots;\varphi^{s_t}(v_t),\cdots,\varphi(v_t),v_t;w_1,\cdots,w_m\}$$ 是線性無關的. 另一方面, 由線性變換的維數公式可知 $$n=\dim V=\dim\mathrm{Ker}\varphi+\dim\mathrm{Im}\varphi=t+m+s_1+s_2+\cdots+s_t,$$ 這正好是向量組 $\Gamma$ 的向量個數. 因此向量組 $\Gamma$ 是 $V$ 的一組基, $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為 $\mathrm{diag}\{J_{s_1+1}(0),J_{s_2+1}(0),\cdots,J_{s_t+1}(0),J_1(0),\cdots,J_1(0)\}$, 其中有 $m$ 個 $J_1(0)$, 結論得證. $\Box$
上述命題結合 $\varphi$ 的特征多項式誘導的根子空間直和分解 (參考新白皮書的例 7.62) 即可給出 Jordan 標准型的直接證明了.