本章目的
- 對給定的矩陣，（在找不到相似對角陣的情況下）找一個最簡單的矩陣與之相似。
- 對給定的線性空間上的線性變換，找線性空間的一組基，使得線性變換的矩陣最簡單。
特征值與特征向量
- 回顧：矩陣的特征值、特征向量主要通過特征多項式求根進行計算，即本質上是求\((\lambda_0I-A)x=\theta\)的非零解，進而等價為求\(|\lambda_0I-A|=0\)的特征多項式的根。
- 若兩個矩陣是相似的，則它們的特征多項式相同。
注：1. 定理的逆命題不成立；2. 可定義線性變換的特征多項式。
主子式
與普通的子式不同的是，主子式在取某行的同時也要取某列。但又不同於順序主子式只能從左上角開始。
\(b_1=tr(A)，b_n=det(A)\)
矩陣的跡
跡=主對角線的和=特征值的和。
- 一個常用的結論：tr(AB)=tr(BA)，利用這個有時候可以在求跡的時候，把一個矩陣轉換為一個數。
化零多項式
- 設\(f(x)\)是多項式。若\(f(A)=O\)，則\(A\)的特征值均是\(f(x)=0\)的根。則此\(f(x)\)為化零多項式。
注：化零多項式的根並不一定是\(A\)的特征值。
- 在不知道特征多項式的情況下，使用化零多項式也可以解決求特征值的問題。
例：已知\(A^2=A\)，證明：\(A\)的特征值只能是0或1（這里的\(A\)又被叫做冪等陣）
解：令\(f(x)=x^2-x\)，則\(f(A)=A^2-A=O\)
\(A\)的特征值是\(f(x)\)的根：0，1。
但無法求出是幾重根以及確定具體是0還是1。
最小多項式
矩陣\(A\)的次數最低的、最高次項系數為一的化零多項式稱為\(A\)的最小多項式
於是有了次數逐漸降低的一個多項式的變化過程：特征多項式 → 化零多項式 → 最小多項式
- 例：
第二張圖是為了補充說明：\(\alpha \neq 0，\beta \neq 0\)，則\(A=\alpha \beta^H \neq O\)（防止有零因子的現象出現）。
多項式相關性質
- 方陣\(A\)的最小多項式必整除\(A\)的化零多項式和特征多項式。
- 矩陣\(A\)的最小多項式是唯一的。
- 矩陣\(A\)的特征值一定是最小多項式的根。特別地，若矩陣\(A\)的特征值互異，則它的最小多項式與特征多項式相同。
- 方陣\(A\)的最小多項式與特征多項式有相同的零點。
- 相似的矩陣有相同的最小多項式。
Hamilton-Cayley定理
設\(A∈F^{n*n}，C(\lambda)=|\lambda I-A|\)，則\(C(A)=O\)
書中引用Schur引理證明了該定理。而該定理是為了證明化零多項式是一定存在的。
Schur引理
對\(\forall A∈C^{n*n}\)，存在酉矩陣\(U\)使得\(U^HAU\)是上三角矩陣。（即酉相似）
相似對角化的充要條件
目的
- 對給定的矩陣，判斷其是否相似於對角陣
- 對給定的線性空間上的線性變換，判斷是否存在空間的一組基，使得其矩陣是對角陣。
已知的判別方法
- \(n*n\)的矩陣\(A\)相似於對角陣\(\leftrightarrows A\)有\(n\)個線性無關的特征向量
- 矩陣的屬於不同特征值的特征向量線性無關
- 各個特征值中線性無關的特征向量也都線性無關。
線性變化下的判別方法
- \(f\)可對角化\(\leftrightarrows f\)有\(n\)個線性無關的特征向量。
- \(f\)的屬於不同特征值的特征向量線性無關。
- 各個特征值中線性無關的特征向量也都線性無關。
特征子空間
- 設\(f∈Hom(V,V)\)，\(\lambda_0\)為\(f\)的特征值，稱\(V_{\lambda_0}=\left\{\zeta|f(\zeta)=\lambda_0\zeta,\zeta∈V\right\}\)為\(f\)的特征子空間（相應於\(\lambda_0\)）。
不難看出\(V_{\lambda_0}\)正是由相應於特征值\(\lambda_0 \)的全體特征向量再添上一個零向量構成。\(f\)的\(V_{\lambda_0}\)是線性變換\(f-\lambda_0I\)的核，它是\(f\)的不變子空間。
- \(dimV_{\lambda_0}\)=\(f\)的屬於\(\lambda_0\)的線性無關特征向量個數
- 設\(f\)的特征多項式是\(C(\lambda)=\prod \limits_{i=1}^s(\lambda-\lambda_i)^{r_i}\)，則\(dimV_{\lambda_i}≤r_i\)（即，幾何重數≤代數重數）
- 設\(f\)的特征多項式是\(C(\lambda)=\prod \limits_{i=1}^s(\lambda-\lambda_i)^{r_i}\)，則下述條件是等價的：
- \(f\)是可對角化的
- \(\forall i,dimV_{\lambda_i}=r_i\)(對應特征子空間的維數與它的根的重數相等)
- \(V=V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus…\oplus V_{\lambda_i}\)
可相似對角化的充要條件
- \(n*n\)矩陣\(A\)相似於對角陣\(\leftrightarrows A\)的最小多項式無重根
引理：若\(n\)階矩陣\(M_i\)滿足\(M_1M_2···M_s=O\),則\(\sum \limits_{i=1}^sr(M_i)≤(s-1)n\)
常用結論：若化零多項式無重根，則最小多項式也無重根。
- 例：
Jordan標准形
問題
- 如果給定的矩陣不與任何對角陣相似，如何找一最簡單的矩陣與之相似。
- 等價的問題：若線性空間上給定的線性變換不可對角化，如何找線性空間的一組基，使得線性變換的矩陣最簡單。
定義
注：Jordan塊的主對角線元素必須相同。
對角陣是特殊的Jordan形矩陣。
Jordan標准形的存在性、唯一性
除了相差Jordan塊的次序外，矩陣的Jordan標准型是存在的、唯一的。
- 在求解Jordan標准形時，只換了Jordan塊次序的情況不被認為是一個新的Jordan標准形。
- 同時，還需要借助秩的方式來進行判斷，如果\(J\)是矩陣\(A\)的Jordan標准形，則\(r(A-I)=r(J-I)\)
也就是說不用刻意去背Jordan標准形唯一性定理，因為很少直接用到。
分塊矩陣的最小多項式：
Jordan標准形與最小多項式
特征多項式確定Jordan標准形的對角線元素，最小多項式通過重數確定對應Jordan塊的最高階數（且至少含有一塊最高階數的Jordan塊）。
引理
設\(f\)為線性空間\(V\)的線性變換，若存在互素多項式\(p(x)\)與\(q(x)\)，使\(p(f)q(f)=0\)，則\(V=W\oplus S\)，其中
且\(W\)與\(S\)都是\(f\)的不變子空間。
特征值的分布
通俗的講\(R_i\)就是去掉該對角線元素后的，其余元素的絕對值的和。n階矩陣若有n個特征值，則有n個蓋爾圓（但並不是每個蓋爾圓中都一個特征值）。
- 矩陣\(A\)的特征值必定在\(A\)的蓋爾圓系中。
- \(A\)的蓋爾圓系\(G\)中，記由\(k\)個圓組成的連通域為\(G_k\)，又\(G_k\)與\(G\)中其他圓無公共點，則稱\(G_k\)為\(k\)區。
- \(A\)的蓋爾圓的\(k\)區，有且僅有\(A\)的\(k\)個特征值。
- 推論：如果\(A\)的\(n\)個蓋爾圓互不相交，則\(A\)有\(n\)個互不相等的特征值。
- 推論：若矩陣\(A\)的蓋爾圓都是1區，則\(A\)可相似於對角陣。
以上可以用來估計特征值的范圍，在不求出具體特征值的情況下確定矩陣可相似於對角陣。
在解題過程中，也可以借助轉置矩陣來確定不同的蓋爾圓（但對應的特征值是一樣的）。
譜半徑的估計
\(\rho_1\)由行得出，\(\rho_2\)由列得出。
- 例：
行（列）對角占優矩陣
- 若方陣\(A=(a_{ij})_{n*n}\)的元素滿足\(|a_{ii}|>\sum \limits_{j=1,j\neq i}^n|a_{ij}|\ \ \ (i=1,2…,n)\)，則稱\(A\)為行對角占優矩陣；若\(A^T\)為行對角占優矩陣，則稱\(A\)為列對角占優矩陣。統稱為對角占優矩陣。
- 推論：若\(A\)是對角占優矩陣，則\(detA\neq 0\)，於是\(A\)可逆，且\(\rho(A)<\max \limits_i{2|a_{ii}|}\)；若\(A\)的主對角元都是正實數且是對角占優矩陣，則\(A\)的特征值全在右半平面。
Markov矩陣
- 若\(n\)階方陣\(A=(a_{ij})\)的每個元素非負，且\(\sum \limits_{j=1}^na_{ij}=1\ (i=1,2,…,n)\)，則稱\(A\)為Markov矩陣。
- 推論：\(A\)為Markov矩陣\(\leftrightarrows1\)是\(A\)的最大模特征值，且\(n\)維向量\(e=(1,1,…,1)^T\)是相應的特征向量。