考慮將單純形法的求解過程用矩陣進行描述，對於已經引入松弛變量的 LP 問題，其約束條件
\[BX_B+NX_N=b \tag{1} \]
目標函數
\[C_BX_B+C_NX_N=z \tag{2} \]
聯立消去 \(X_B\) 得
\[z=C_BB^{-1}b+(C_N-C_BB^{-1}N)X_N \tag{3} \]
其中 \(C_N-C_BB^{-1}N\) 就是所謂的檢驗數 \(\sigma\)。
因此，單純形表可以描述為
| 基變量 \(X_B\) | 非基變量 \(X_N\) | 右側 RHS | |
|---|---|---|---|
| 系數矩陣 | \(I\) | \(B^{-1}N\) | \(B^{-1}b\) |
| 檢驗數 | \(0\) | \(C_N-C_BB^{-1}N\) | \(-C_BB^{-1}b\) |
任意時刻各個部分的核心是某個已知矩陣的部分左乘一個 \(B^{-1}\)，因此求解的核心在於快速地維護 \(B^{-1}\)。
以下我們設 \(P_k\) 是 \(x_k\) 對應的原始系數矩陣的那一列。
我們有遞推式
\[B_{i}^{-1}=E_iB_{i-1}^{-1} \tag{4} \]
其中 \(E_i\) 是把一個單位矩陣中，第 \(j\) 列替換為 \(\xi_i\) 后的結果，其中 \(j\) 表示本次新換入的基在 \(B_i\) 中對應第 \(j\) 列，\(\xi_i\) 由本次換入變量在換入前 \(B_{i-1}^{-1}N_{i-1}\) 中對應的列 \((a_1,a_2,...,a_m)\) 變換得到，設 \(l\) 是換出變量對應的行，則
\[\xi_i = (-\frac {a_1} {a_l}, ...,\frac 1 {a_l},...,- \frac {a_m} {a_l}) \tag{5} \]
於是，
\[B_i^{-1}=(e_1,...,e_{j-1},\xi_i,e_{j+1},...,e_m)B^{-1}_{i-1} \tag{6} \]
換入變量求解根據檢驗數
\[\sigma_i = C_{N_i}-C_{B_i}B_i^{-1}N_i \tag{7} \]
中找最小值下標即可得到，換出變量根據 \(\theta\) 法則求
\[\theta = \displaystyle\min_l \{ \frac {B_i^{-1}b} {B_i^{-1}P_k} | B_i^{-1}P_k >0\} \tag{8} \]
即可得到。