在求解LP問題時，有人給出了圖解法，但對多維變量時,卻無能為力。
於是，美國數學家G.B. Dantzig (丹捷格)發明了一種“單純形法”的代數算法，尤其是方便於計算機運算。這是運籌學史上最輝煌的階段。
翻譯一下就是：
-
若某個基本可行解對應的檢驗向量<0，那么這個基本可行解就是最優的。
-
若某個基本可行解對應的檢驗向量=0，則有無窮多個最優解。
-
若某個基本可行解對應的檢驗向量>0，並且系數(約束條件)小於0，無解。
${C_N}$——非基變量系數
${C_B}$——基變量系數
B——基，即線性無關向量組R(A)=R(B)
N——非基向量組
單純形法計算步驟：
-
將線性規划問題化成標准型 (引入松弛變量)
-
找出或構造一個m階單位矩陣作為初始可行基，建立初始單純形表。
-
計算各非基變量的檢驗數${\sigma _j} = {c_j} - {z_j}$ 若所有檢驗數≤0，則問題已得到最優解，停止計算。否則，轉入下一步。(檢驗數)
-
在大於0的檢驗數中，若某個檢驗數對應的系數列向量≤ 0，則此問題是無界解，停止計算，否則轉入下步。
-
根據$max$（檢驗數$j$ | 檢驗數$j$>0）=檢驗數k的原則，確定為換入變量(進基變量) 再按最小比值法則($\frac{{{b_i}}}{{{a_{ik}}}}$，&${a_{ik}}$>0)確定換出變量，建立新的單純形表，此時的基變量中${x_k}$代替的換出變量的位置。
-
以${a_{ik}}$為主元素進行迭代，把${x_k}$所對應的列向量變為單位列向量，即${a_{ik}}$變為1 同列中其他元素變為0，繼續計算各非基變量的檢驗數，進行第三步。
&Lingo里面的方法就屬於單純形法。
例題：
①先引入三個松弛變量，構造單位矩陣。
②得到單位矩陣，構造出初始可行基B
從中我們可以get信息：基向量組B和非基向量組N
還可以知道所有變量的系數所組成的向量C和基變量${X_B}$、非基變量${X_N}$：
我們需要的檢驗數就是系數減去${Z_j}$（${\sigma _j} = {c_j} - {z_j}$，${Z_j} = {C_B}{N_j}$）
這是目標函數：$Z = {C_B}{B^{ - 1}}b + ({C_N} - {C_B}{B^{ - 1}}N){X_N}$ (b就是增廣矩陣多出來的那些)
當基矩陣B化成單位矩陣時，令非基變量${X_N}$=0，得到 $Z = {C_B}{B^{ - 1}}b$
③進行步驟3--6
填入信息
剛開始，基變量的系數全為0，所以Z=0，${Z_j}$=0，可以寫出對應的檢驗數：
| x1 |
x2 | s1 | s2 | s3 |
| 50 | 100 | 0 | 0 | 0 |
可以看出，${x_2}$對應的檢驗數最大，成為換入變量，而且根據最小值法則，知道${s_3}$是換出變量。於是將${s_3}$的位置換上${x_2}$，對應的系數也變成了100。
我們再進行初等行變換，使${x_2}$，${s_1}$，${s_2}$對應的基矩陣變成單位矩陣。在此基礎上進行計算${Z_j}$，就可以利用其算出新一輪的檢驗數：
我們可以發現，仍然存在檢驗數大於0的情況，唉，只能進入新一輪的迭代，${x_1}$作為換入變量，而經過最小比值規則，可以判定出${s_1}$是換出變量
然后，我們再根據新的數據，寫出新一輪的${Z_j}$和 檢驗數 ，發現此時的檢驗數全部≤0，我們成功地找到了最優解！
結束啦！
表格中，檢驗數全部≤0，根據判斷規則，Z值為最優值（Z=27500），其解：
${X_1}$=50，${s_1}$=50，${X_2}$=250，${s_2}$=${s_3}$=0
為模型的最優解。