兩階段單純形法

線性規划問題基本定理

• 若一個問題提存在容許域，則其容許域為凸集
• 線性規划問題有容許解，則必有基本容許解
• 線性規划問題有最優解，則必有最優基本容許解
• 線性規划問題的基本容許解對應容許域的頂點
• 線性規划問題存在有限最優解，則其目標函數最優值一定可以在容許域頂點達到

單純形法思路

根據問題的標准型，從容許域的一個基本容許解開始，轉移的到另一個基本容許解並使目標函數逐步下降。當目標函數達到最小值時，問題得到最優解。

步驟

• 將問題模型化為線性規划標准型

  • 極大化目標函數：\(max z=C^TX\)
    令\(z^{'}=-z\)，將問題轉換為\(min z^{'}=-C^TX\)
  • 約束條件為不等式
    若為\(\leq\)型，則“左端+松弛變量=右端”（松弛變量\(\geq 0\)）
    若為\(\geq\)型，則“左端-剩余變量=右端”（松弛變量\(\geq 0\)）
  • 存在無非負要求的\(x_k\)
    令\(x_k={x_k}^{'}-{x_k}^{''}，其中{x_k}^{'}\geq 0,{x_k}^{''}\geq 0\)帶入目標函數及約束條件即可。
  • 變量\(x_j\)有上下界
    若\(x_j \geq u_j\),令\(x_j^{'}=x_j-u_j\)用\(x_j^{'}+u_j\)代替\(x_j\)
    若\(x_j \leq t_j\),令\(x_j^{'}=t_j-x_j\)用\(t_j-x_j^{'}\)代替\(x_j\)

• 將標准型通過人工變量化為典范形式，此時，約束方程系數矩陣中的m階單位矩陣為初始容許基

• 進行基變換

  • 換入變量確認：
    • \(x_j為換入變量，則\sigma_k>0\)
  • 換出變量確認
    • \(x_r為換出變量，則{\,}\theta=\frac{b_r}{a_{ik}}=min\{{\frac{b_i}{a_{ik}}|a_{ik}>0}\}\)

兩階段單純形法最優解判別

• 第一階段

  • 對於某個基本容許解，所有判別數\(\sigma_j\leq 0\),則該基本容許解為最優解
  • 若w=0，則原問題有容許解；
  • 若w>0，則原問題無容許解，停止

• 第二階段

  • 最優解判別定理：在極小化問題中，對於某個基本容許解，所有判別數\(\sigma_j\leq 0\),則該基本容許解為最優解。
  • 無窮多最優解判別定理：在極小化問題中，對於某個基本容許解，所有判別數\(\sigma_j\leq 0\)，又存在某個非基變量判別數\(\sigma_k=0\)，則原線性規划問題有無窮多最優解。
  • 解無界判別定理：若在極小化問題中，對於某個基本容許解，有一個非基變量判別數\(\sigma_k>0\),但\(p_k\)中沒有正元素，則原線性規划問題解無界