矩陣，實際上是指定基下的線性變換。
一、相似矩陣
對相似矩陣直觀的理解就是兩個在不同基下的變換矩陣，也可以理解成在不同視角下的變換過程。
例如有一個在基x，y下的向量v，p是根據兩個基得到的矩陣（分別計算x，y在x'，y'的坐標作為兩個列向量）。v左乘p后只是換了基（表面上看是換了v的坐標，但是實際上位置是沒有變化的，只是基變化了），再左乘A后，變換了v的位置，再左乘p'，就是把基又變了回來。
二、矩陣的跡
線性代數中，跡是矩陣對角線之和。
矩陣的跡，行列式和特征值都可以被稱為相似不變量。行列式代表的是線性變換的伸縮比例。某種意義上講，他們都和坐標無關。
三、矩陣求導
參考知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748
下面說一下自己的理解。
對於標量關於向量求導，比較重要的是找到了微分與跡的關系。
若標量函數f是矩陣X經加減乘法、行列式、逆、逐元素函數等運算構成，則使用相應的運算法則對f求微分，再使用跡技巧給df套上跡並將其它項交換至dX左側，即能得到導數。一些常用的公式可以查找上面的鏈接。