矩陣的跡 特征值

矩陣的跡（trace）

X∈P（n×n）,X=（x_ii）的主對角線上的所有元素之和稱之為X的跡，記為tr(X)，即tr(X)=∑x_ii

性質：

(1)

設有N階矩陣A，那么矩陣A的跡（用tr（A）表示）就等於A的特征值的總和，也即A矩陣的主對角線元素的總和。

1.跡是所有對角元的和

2.跡是所有特征值的和

3.某些時候也利用tr(AB)=tr(BA)來求跡

(2)

奇異值分解（Singular value decomposition ）

奇異值分解非常有用，對於矩陣A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由對角陣與增廣行或列組成），滿足A = U*B*V

U和V中分別是A的奇異向量，而B是A的 奇異值。AA'的 特征向量組成U，特征值組成B'B，A'A的特征向量組成V，特征值（與AA'相同）組成BB'。因此， 奇異值分解和特征值問題緊密聯系。

如果A是 復矩陣，B中的奇異值仍然是實數。

SVD提供了一些關於A的信息，例如非零 奇異值的數目（B的 階數）和A的階數相同，一旦階數確定，那么U的前k列構成了A的列向量空間的正交基。

 

矩陣的特征值（eigenvalue）

設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

求解矩陣特征值的方法

Ax=mx，等價於求m，使得(mE-A)x=0，其中E是單位矩陣，0為零矩陣。

|mE-A|=0，求得的m值即為A的特征值。 |mE-A| 是一個n次多項式，它的全部根就是n階方陣A的全部特征值，這些根有可能相重復，也有可能是復數。

如果n階矩陣A的全部特征值為m1 m2 ... mn，則|A|=m1*m2*...*mn

同時矩陣A的跡是特征值之和：tr（A）=m1+m2+m3+…+mn [1]

如果n階矩陣A滿足矩陣多項式方程g(A)=0, 則矩陣A的特征值m一定滿足條件g(m)=0;特征值m可以通過解方程g(m)=0求得