特征值之積等於矩陣行列式、特征值之和等於矩陣的跡

特征值之積等於矩陣行列式

　　對於$n$階方陣$A$，我們可以解$\lambda$的$n$次方程

$|A-\lambda E|=0$

　　來求$A$的特征值。又因為在復數域內，$A$一定存在$n$個特征值$\lambda_1,\lambda_2...\lambda_n$使上式成立。因此作為$\lambda$的$n$次多項式，$|A-\lambda E|$可以寫成：

$\begin{gather}|A-\lambda E|=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)\label{}\end{gather}$

　　當$\lambda=0$時，上式變為：

$|A| = \lambda_1...\lambda_n$

　　得出結論。 

特征值之和等於矩陣的跡

　　為了找到特征值之和，首先將$(1)$式展開：

$ \begin{gather} \begin{aligned} &|A-\lambda E|\\ =&(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)\\ =&\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i +\dots +\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i(-\lambda)^{n-1} +(-\lambda)^n \end{aligned} \label{}\end{gather} $

　　我們可以發現，上式中只有倒數第二項，$\lambda$的$n-1$次項包含所有特征值的和。

　　對於行列式$|A-\lambda E|$來說，我們怎樣才能獲得這一項呢？從行列式定義的角度看，計算行列式是對所有非同行同列元素之積求和，我們不可能取$n-1$個對角線元素和一個非對角線元素來進行乘積操作，非對角線元素最少都要取二個，所以只有$|A-\lambda E|$全部對角線元素的乘積，才能獲得$\lambda$至少$n-1$次的項。將$|A-\lambda E|$展開：

$ \begin{gather}  \begin{aligned} &|A-\lambda E|\\ =&\dots-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^nA_{ij}A_{ji}\prod\limits_{k=1,k\ne i,j}^n(A_{kk}-\lambda)+\prod\limits_{i=1}^n(A_{ii}-\lambda)\\ =&\dots-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^nA_{ij}A_{ji}\prod\limits_{k=1,k\ne i,j}^n(A_{kk}-\lambda)+ \prod\limits_{i=1}^nA_{ii} +\dots +\sum\limits_{i=1}^nA_{ii}(-\lambda)^{n-1} +(-\lambda)^n \end{aligned} \label{}\end{gather} $

　　將$(3)$式與$(2)$式的$\lambda^{n-1}$項的參數取等：

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i(-\lambda)^{n-1} = \sum\limits_{i=1}^nA_{ii}(-\lambda)^{n-1}$

　　得出結論。