考研復習到線性代數的特征值這一章，看到兩個基本性質：特征值的積等於矩陣的行列式，特征值的和等於矩陣的跡。用公式表示：
\[\prod_{i=1}^n\lambda_i=|A|\\ \sum\lambda_i=tr(A) \]
書上沒有證明過程，於是去搜了一下，加上自己的理解，將其整理在此。
由於兩個的證明都要用到韋達定理，所以這里先證明一下韋達定理。
1.韋達定理
定理：
設復數系一元n次方程\(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0\)的根為\(x_1,x_2,...,x_n\)，則成立：
\[\begin{align*} x_1+x_2+...+x_n=&\sum_{i=1}^nx_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n} \\ x_1x_2...x_n=&\prod_{i=1}^n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n} \end{align*} \]
證明：
多項式提出\(a_n\)：
\[原式=a_n(x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}x^{n-1}+...+\frac{a_1}{a_n}x+\frac{a_0}{a_n}) \]
換用零點形式表示：
\[\begin{align*} 原式=&a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n) \\ =&a_n(x^n-(\sum_{i=1}^n x_i)x^{n-1}+...+(-1)^n\prod_{i=1}^nx_i) \end{align*} \]
將兩式中的常數項對應起來：
\[\frac{a_0}{a_n}=(-1)^n\prod_{i=1}^nx_i \]
移項得：
\[\prod_{i=1}^nx_i=(-1)^n\frac{a_0}{a_n} \]
將兩式中\(x^{n-1}\)的系數對應起來：
\[\frac{a_{n-1}}{a_n}=-\sum_{i=1}^n x_i \]
移項得：
\[\sum_{i=1}^nx_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n} \]
2.特征值的積等於行列式
定理：
\[\prod_{i=1}^n\lambda_i=|A| \]
其中\(\lambda_i\)是A的n個特征值
證明：
特征方程\(|A-\lambda I|=a_0+a_1\lambda+...+a_n\lambda^n\)
上述方程令\(\lambda=0\)，得
\[|A|=a_0 \]
由於\(\lambda_n\)的系數\(a_n\)一定由行列式主對角線元素相乘得到，所以有
\[a_n=(-1)^n \]
由韋達定理得：
\[\prod_{i=1}^n \lambda=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}=a_0 \]
所以
\[\prod_{i=1}^n \lambda=|A| \]
3.特征值的和等於矩陣的跡
定理：
\[\sum\lambda_i=tr(A) \]
證明：
觀察特征多項式：
\[\begin{align*} |A-\lambda I|=& \left( %左括號 \begin{array}{ccc} %該矩陣一共3列，每一列都居中放置 a_{11}-\lambda & a_{12} &... &a_{1n}\\ %第一行元素 a_{21} & a_{22}-\lambda &... &a_{2n}\\ %第二行元素 ... &...\\ a_{n1} & a_{n2} &... &a_{nn}-\lambda \end{array} \right) %右括號 \\ =&a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0 \end{align*} \]
可知：
\[a_{n-1}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^na_{ii} \]
根據韋達定理，有：
\[\sum_{i=1}^n\lambda_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n} \]
帶入\(a_{n-1}\)，有：
\[\begin{align*} \sum_{i=1}^n\lambda_i=&-\frac{a_{n-1}}{a_n} \\=&-\frac{(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^na_{ii}}{(-1)^n} \\=&\sum_{i=1}^na_{ii} \end{align*} \]