矩陣論練習23（特征多項式和矩陣的跡）

定理

設 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，則

\[|\lambda I-A|= \lambda^n + b_1\lambda^{n-1} +\cdots+b_{n-1}\lambda + b_n \]

其中， \(b_j=(-1)^j\sum (A的j階主子式)\).
特別地，\(b_1=-\sum\limits_{i=1}^n a_{ii}\), \(b_n=(-1)^n|A|\).

矩陣的跡

定義：設 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，稱 \(\sum\limits_{i=1}^n a_{ii}\) 為 \(A\) 的跡，記為 \(tr(A)\).

命題：若 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\) 的特征值為 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)，則

\[tr(A)=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \\ |A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i \]

證明：根據特征值是特征多項式的為 \(0\) 時的根，有 \(|\lambda I-A|=(\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)\cdots (\lambda - \lambda_n)\)，和上面定理比較，即可得到該命題。

說明：從上面定義可以看出，方陣的跡的定義和計算都相當簡單，直接把對角線元素相加即可；另外如果知道所有特征值，也可以把所有特征值相加，從而得到結果。

題目

設 \(\alpha=(a_1,\cdots,a_n)^T\)，\(\beta=(b_1,\cdots,b_n)\)，\(A=\alpha\beta^H\)。求 \(A\) 的特征值。

解答

由於 \(rank(A)\le min(rand(\alpha),rank(\beta))\)（參見有關矩陣的秩的不等式)，即 \(rank(A)\le 1\)，則 \(A\) 的大於 \(2\) 階的主子式的行列式都為 \(0\)。因此，根據定理，可以得出：

\[|\lambda I-A|=\lambda^n-(trA)\lambda^{n-1} = \lambda^{n-1}(\lambda - <\alpha,\beta>) \]

如果 \(<\alpha,\beta>=0\)，則 \(A\) 的特征值為 \(0\)；
如果 \(<\alpha,\beta>\ne 0\)，則 \(A\) 的特征值為 \(0\) 和 \(<\alpha,\beta>\).