定義
矩陣\(A\)的次數最低的、最高次數為\(1\)的化零多項式稱為\(A\)的最小多項式。
定理
設 \(m(x)\),\(C(x)\) 分別是矩陣\(A\)的最小多項式和特征多項式，則 \(m(x)|C(x)\)，並且，對 \(\lambda_0\in C\)(這里\(C\)指復數域)，\(m(\lambda_0)=0\Leftrightarrow C(\lambda_0)=0\)。
需要注意的是，最小多項式的重根次數不一定為\(1\)。
題目一
求下列矩陣的最小多項式：
\(\left( \begin{matrix} a & &\\ & a &\\ & &a \end{matrix} \right)\)， \(\left( \begin{matrix} a & 1 &\\ & a &0\\ & &a \end{matrix} \right)\)， \(\left( \begin{matrix} a & 1 &\\ & a &1\\ & &a \end{matrix} \right)\).
解答
上面3個矩陣的特征多項式均為 \(C(\lambda)=(\lambda-a)^3\)，最小多項式只能是該多項式的因式。
第1個矩陣: 假設 \(m(\lambda)=(\lambda-a)\)，則 \(m(A)=(A-aI)=O\)，
因此第1個矩陣的最小多項式為 \(m(\lambda)=(\lambda-a)\)；
第2個矩陣: 假設 \(m(\lambda)=(\lambda-a)\)，則 \(m(A)=(A-aI)\ne O\)；
再假設\(m(\lambda)=(\lambda-a)^2\)， 發現\(m(A)=(A-aI)^2=O\)
因此第1個矩陣的最小多項式為 \(m(\lambda)=(\lambda-a)^2\)；
同理，可以求出第三個矩陣的最小多項式為 \(m(\lambda)=(\lambda-a)^3\)。
題目二
設 \(\alpha=(a_1,\cdots,a_n)^T\)，\(\beta=(b_1,\cdots,b_n)^T\). 求\(A\)的最小多項式。
解答
\(A\)的特征多項式為\(C(\lambda)=\lambda^{n-1}(\lambda-<\alpha,\beta>)\)，參見矩陣的秩與特征多項式。
-
若 \(\alpha,\beta\) 不相互垂直，取\(m(\lambda)=\lambda(\lambda-<\alpha,\beta>)\)，
代入\(A\)，得\(m(A)=O\)，則求出\(A\)的最小多項式；其中可以求出 \(A^2=<\alpha,\beta>A\) -
若 \(\alpha\perp\beta\)，\(C(\lambda)=\lambda^n\)。
- 若 \(A=O\)或者\(B=O\)，此時 \(A=O\)，即得最小多項式為\(m(\lambda)=\lambda\)
- 若 \(A\ne O\)且\(B\ne O\)，此時 \(A\ne O\), 根據 \(A^2=<\alpha,\beta>A\) 和 \(\alpha\perp\beta\)，可得 \(A^2=O\)，因此最小多項式為 \(m(\lambda)=\lambda^2\)。