相似矩陣(similar matrices)
定義
設\(A,B\)都是\(n\)階矩陣，若有可逆矩陣\(P\),使得\(P^{-1}AP=B\),則稱\(B\)是\(A\)的相似矩陣。
兩個相似矩陣的特征值相同，也就是說如果一個矩陣和一個對角矩陣\(\Lambda\)
\[\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda_{1}} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {\lambda_{2}} & {} & {} \\ {} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {} & {} & {\lambda_{n}}\end{array}\right]\]
相似,則\(\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\)時\(A\)的n個特征值。
理解相似矩陣
相似矩陣的本質就是說通過相似變換能夠把在不同基下的元素還原到另一個基空間下。還是很混亂是不是，沒關系我們看下面的例子就很好理解了：
如下圖示有兩個不同的基空間，左邊是由\(\overrightarrow{i_{1}},\overrightarrow{j_{1}}\)定義的空間，右邊是由\(\overrightarrow{i_{2}},\overrightarrow{j_{2}}\)定義的空間，很顯然兩個空間上的\(m\)點都是同一個點(\(n\)也一樣)，唯一區別就是它的坐標因為基不一樣而不同。就好像同一個事物從不同角度看是不一樣的，但是事實上它就是一個東西。
另外我們知道矩陣的本質可以理解成線性變換（細節可以閱讀理解矩陣），因此右邊的坐標系可以通過左乘一個（注意必須是左乘）矩陣\(P\)得到左邊的坐標系，那么也就是說\(m\)點在右圖中的矢量表示是\(\overrightarrow{v_2}\),通過做成一個矩陣\(P\)后就能夠變換到左邊坐標系下。
在左圖中，\(n\)點是\(m\)點經過矩陣\(A\)的變換后得到的點，而對應到由圖則是經過矩陣\(B\)變換后得到的。同理按照上面\(m\)點的變換我們可以有如下變換式子：
\[\begin{align} \text{for point n}: A\overrightarrow{v_1} &= PB\overrightarrow{v_2} \notag \\ &=PBP^{-1}\overrightarrow{v_1} \notag \\ \Rightarrow A=PBP^{-1} \notag \\ \Rightarrow P^{-1}AP=B \notag \\ \end{align} \]
