可逆的含義
定義： 單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣叫初等矩陣
解讀：經過一次行變換或者一次列變換的矩陣
定理： 矩陣A可逆的充要條件是A=P₁P₂P₃P₄…
解讀：一個復雜矩陣可以被拆解成無限多個的簡單矩陣的乘積，而每個簡單矩陣都接近於單位矩陣
內在聯系
綜上，可以得出一條關系線，即：可逆矩陣-》初等矩陣-》單位矩陣
所以，可逆矩陣非零行的行數一定等於單位矩陣非零行個數，即r(A)=r(E)
可逆矩陣的行列式
單位矩陣每一行都有一個元素“1”，所以行列式不可能為0；
∵|E|≠0，∴可逆矩陣|A|≠0
相似的含義
定義： 矩陣A、B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P使的 P¹AP=B，則A~B
解讀：矩陣A可以變換成矩陣B，並且這個變換過程可以歸結到單位矩陣
相似對角化
正向： 原始矩陣A-》變換P-》矩陣B-》對角矩陣-》特征值、特征向量
定理：兩矩陣相似，則兩矩陣多項式、特征值均相同
推論：矩陣與對角矩陣相似，則對角矩陣主對角線上的元素是矩陣的特征值
∴ 如果求出了特征值，那么這個對角矩陣也就跟着求出
逆向：原始矩陣A《-變換P《-矩陣B《-對角矩陣《-特征值、特征向量
定理：如果有n個線性無關的向量，則矩陣可以被相似對角化
推論：如果有n個不相等的特征值，則矩陣可以被相似對角化
對陣矩陣對角化
方向：對稱矩陣-》變換矩陣P-》對角矩陣-》特征值、特征向量
定理：對稱矩陣的特征值都是實數
不相等的特征值 對應的特征向量之間 兩兩正交
對稱陣 一定可以 通過正交變換得到對應的相似對角陣
推論：相等的特征值 對應的特征向量之間 線性無關，這些特征向量需要單位化、正交化 才可以成為變換矩陣P里的 列向量
對稱陣 一定有 正交陣 使得 \(\mathbf{P}^\mathrm{-1}\)AP = \(\mathbf{P}^\mathrm{T}\)AP (= \({\Lambda}\))