矩陣的相似性與對角化

概要

介紹相似矩陣、對角化以及一大堆性質.
 

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相似矩陣的定義

從基變換一節中，我們了解到每一個可逆矩陣都是一個可變換基的矩陣，每一個可變換基的矩陣也都是可逆的. 設 \(\mathscr{B}\) 是向量空間 \(V\) 的一組基，\(T\) 是 \(V\) 上的一個線性變換，\(A={}_\mathscr{B}[T]_{\mathscr{B}}\), 則 \(T\) 的所有基表示的集合是
\[
\{ {}_{\mathscr{B}_1}[I]_{\mathscr{B}} \cdot {}_\mathscr{B}[T]_{\mathscr{B}} \cdot {}_\mathscr{B}[I]_{\mathscr{B}_1}: \mathscr{B}_1\,\, is \,\, a \,\, basis\,\, of \,\, V \}=\{S^{-1}AS: S \in M_n(\mathbf{F})\,\, is \,\, invertible\}
\]
這恰是所有與 \(A\) 的相似的矩陣的集合，說明了相似矩陣正好就是單個線性變換的不同的基表示. 於是研究相似性可以看成是研究線性變換固有的性質或者是它們所有的基表示共有的性質。

與任何等價關系類似，相似性將集合 $M_n$ 分划成不相交的等價類。每個等價類是 $M_n$ 中一個給定矩陣（這個類的一個代表元）相似的所有矩陣組成之集合。一個等價類中所有的矩陣是相似的，不同等價類中的矩陣是不相似的，關鍵的結論是處於一個相似類中的矩陣共同享有許多重要的性質。  

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相似矩陣的性質

相似矩陣有相同的特征多項式

  **證明**：計算 \\begin{align\*} p\_B(t)&=\mathrm{det}(tI-B)=\mathrm{det}(tS^{-1}S-S^{-1}AS)=\mathrm{det}(S^{-1}(tI-A)S) \\\\ &=\mathrm{det}\\,S^{-1} \mathrm{det}(tI-A) \mathrm{det}S=( \mathrm{det}\\,S)^{-1} (\mathrm{det}\\,S) \mathrm{det}(tI-A)=\mathrm{det}(tI-A)=p\_{A}(t) \\end{align\*} 基於此有個簡單的推論， 對相似性來說，有相同的特征值是一個必要但非充分的條件，比如 $\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0&0 \end{bmatrix}$ 與 $\begin{bmatrix} 0& 0\\ 0&0 \end{bmatrix}$ 有相同的特征值但不相似。   ### 對角矩陣的相似性 由於對角矩陣特別簡單且有很好的性質，我們樂於知道何種矩陣與對角矩陣相似.   **證明**：假設 $k   **證明**：假設存在復純量 $\alpha_1,\cdots,\alpha_k$, 使得 $\alpha_1x^{(1)}+\alpha_2x^{(2)}+\cdots+\alpha_kx^{(k)}=0$. 設 $B_1=(A-\lambda_2I)(A-\lambda_3I)\cdots(A-\lambda_kI)$（乘積中略去了 $(A-\lambda_1I)$）. 由於對每個 $i=1,\cdots,k$, $x^{(k)}$ 是與特征值 $\lambda_i$ 相伴的特征向量，我們就有 $B_1x^{(i)}=(\lambda_i-\lambda_2)(\lambda_i-\lambda_3)\cdots(\lambda_i-\lambda_k)x^{(i)}$ , 它當 $2\leqslant i \leqslant k$ 時為零，而當 $i=1$ 時不為零（$x^{(1)}\neq 0$）. 從而 \\begin{align\*} 0&=B\_1(\alpha\_1x^{(1)}+\alpha\_2x^{(2)}+\cdots+\alpha\_kx^{(k)})\\\\ &=\alpha\_1B\_1x^{(1)}+\alpha\_2B\_1 x^{(2)}+\cdots+\alpha\_kB\_1x^{(k)} \\\\ &=\alpha\_1B\_1x^{(1)}+0+\cdots+0=\alpha\_1B\_1x^{(1)} \\end{align\*} 由於 $B_1x^{(1)}\neq 0$, 確保了 $\alpha_1 =0$. 對每個 $j=2,\cdots,k$ 重復這種方法，用類似於定義 $B_1$ 的乘積來定義 $B_j$, 不過在其中要略去因子 $A-\lambda_jI$. 對每個 $j$, 我們求得 $\alpha_j=0$, 故而 $\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0$, 從而 $\alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 是線性無關的.   **證明**：每個特征值對應的特征向量線性無關，由定理 ($2.2$) 就保證了 $A$ 可以對角化.   必須再次提醒的是所有特征值都都不相同**不是必要條件**.   ### 兩矩陣相乘可以交換順序的充分條件 不加證明地給出以下引理，   **證明**：假設 $A$ 與 $B$ 可交換，對 $A$ 與 $B$ 兩者作相似變換使 $A$ 對角化（但並不一定使 $B$ 對角化），並將 $A$ 的重特征值組合在一起（通過轉換矩陣實現）。如果 $\mu_1,\cdots,\mu_d$ 是 $A$ 的不同的特征值，而 $n_1,\cdots,n_d$ 分別是它們和重數，那么我們就可以假設 \\begin{align} A=\begin{bmatrix} \mu\_1I\_{n\_1} &&& 0 \\\\ &\mu\_2I\_{n\_2}&& \\\\ && \ddots& \\\\ 0&&& \mu\_dI\_{n\_d} \end{bmatrix} , \quad \mu\_i\neq \mu\_j,\quad i\neq j \\end{align} 由於 $AB=BA$, 保證了 \\begin{align} B=\begin{bmatrix} B\_1&& 0 \\\\ & \ddots& \\\\ 0&&B\_d \end{bmatrix} , \quad each \\,\\,B\_i \in M\_{n\_i} \\end{align} 是與 $A$ 共形的分塊對角矩陣. 由於 $B$ 是可以對角化的，引理 ($2.2$) 確保了每個 $B_i$ 都是可以對角化的. 設 $T_i \in M_{n_i}$ 是非奇異的且使得 $T^{-1}_iB_iT_i$ 為對角矩陣（對每個 $i=1,\cdots,d$），令 \\begin{align} A=\begin{bmatrix} T\_1 &&& 0 \\\\ &T\_2&& \\\\ && \ddots& \\\\ 0&&& T\_d \end{bmatrix} \\end{align} 那么 $T^{-1}_i\mu_iI_{n_i}T_i=\mu_iI_{n_i}$, 所以 $T^{-1}AT=A$ 與 $T^{-1}BT$ 兩者同為對角矩陣。 反過來，假設存在可逆陣 $S$ 使得 $S^{-1}AS$ 與 $S^{-1}BS$ 同為對角陣，又因為對角陣可交換，所以 $S^{-1}ABS=S^{-1}BAS$, 即 $AB=BA$.  

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讀完應該知道點什么

• 相似矩陣正好就是單個線性變換的不同的基表示
• 相似關系是等價關系
• 相似矩陣有相同的特征多項式（反之不成立）
• 所有特征值都不相同是確保可對角化的充分不必要條件
• 兩矩陣相乘可以交換順序當且僅當這兩個矩陣可同時對角化