對於n階矩陣\(A\), 如果它有n個線性無關的特征向量 \(\alpha_i(i=1,2...n)\), 那么該矩陣一定可以對角化:
\(A=P\Lambda P^{-1}\), 其中\(P=[\alpha_1,\alpha_2, ...,\alpha_n]\), \(\Lambda=diagonal(\lambda_1,\lambda_2, ...,\lambda_n)\)
那么對於n維向量 \(x\) 來說, 線性變換 \(Ax\) 等價於 \(P\Lambda P^{-1}x\)
根據坐標變換的相關理論 https://www.cnblogs.com/bill-h/p/13648136.html 可以知道, 對於n維坐標 \(x_n\) 來說, \(P^{-1}x_n\) 表示將自然基向量下的坐標 \(x_n\) 變換為以\({\{\alpha_1,\alpha_2, ...,\alpha_n\}}\)為基的坐標, 而 \(Px_n\) 則表示相反的坐標變換, 因此線性變換 \(P\Lambda P^{-1}x\) 可以分解為如下三個步驟:
1.將自然基向量下的坐標 \(x\) 變換到以特征向量為基的坐標
2.以特征值為系數對坐標進行數乘
3.將特征向量下的坐標變換回自然基向量下的坐標
因此，在以特征向量為基的坐標系下，矩陣 \(A\) 所代表的線性變換就十分簡單了。