更新： 8 AUG 2016
花了幾個禮拜寫程序終於跑過Davidson對角化！至此，Davidson對角化的思路已經完全清晰。如尚有不准確之處，請務必回復指出！
一、Davidson對角化的思路
Davidson對角化是一種快速求出大規模稀疏矩陣的方法，對於求量子體系中\(\textbf{H}|C\rangle=E|C\rangle\)問題有極大的幫助。其基本原理同Lanczos對角化很相似，此外還可以從牛頓法推出（見Molecular Electronic-Structure Theory）。其數學原理和證明不在此處列出，有深入需求者建議參看Davidson的原始論文：
E. R. Davidson.
The iterative calculation of a few of the lowest eigenvalues and corresponding eigenvectors of large real symmetric matrices.
J. Comput. Phys., 17:87-94, 1975.
此處總結其算法思路。
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在某基組下給定大規模的矩陣\(A\)，要求求其最小的本征值。任取一組標准正交基，如直接從原來的基組中截取數個即可，作為初始的基組猜測，記作\(B\)。在此子空間內表示\(A\)為\(A_0\)，進行對角化求其最小本征值及對應的本征函數，分別記作\(\lambda_0\)和\(b_0\)。這里A在B中的矩陣表示\(A_0\)規模很小，可以通過QR方法等經典的對角化方法求解。
注：初始的基組構成一個子空間（Krylov子空間），Davidson對角化即通過一定的挑選不斷地向這個子空間添加基函數，使其最小本征值\(\lambda_0\)趨近不變。收斂的證明略。 -
牛頓法構造新的基函數：
然后從中扣除投影在子空間B中的部分：
剩下的部分即與子空間B正交的新基，將其歸一化並加入到\(B\)中。
注：實際上就是將\(b\)加入到\(B\)中並正交歸一化。\(A^0\)表示矩陣\(A\)的對角元組成的對角矩陣。
- 重新計算\(A\)在新的\(B\)中的矩陣表示\(A_0\)，並求其最低本征值及對應的本征函數。重復2,3直到子空間\(B\)不變，具體說就是最低本征值\(\lambda_0\)的變化小於閾值。
注：這個判別等價於對正交化（但未歸一）的\(b\)求其模長並判別，模長小於閾值時，說明新加入的本征函數對子空間的貢獻極小。
以上即主要步驟，算法的詳細步驟參看上文獻III節。
二、Davidson對角化在計算中的簡單優化
思路1. 避免重復計算\(A\)在\(B\)中的投影，每次新加入基組時對稱地將\(Ab\)加入即可。對於步驟2中
可以改寫為
一般來說，\(Ab_0\)是每步循環中最耗時的步驟，計算使應當單獨寫成函數並盡可能利用\(A\)的稀疏性與對稱性減少計算。
思路2. 簡化牛頓法。子空間B的規模會在循環中不斷擴大，對\(A_0\)的對角化成本也會越來越高。這一點可以通過以下方法簡化：
每步中僅將\(b_0\)和新的到的\(b\)作為基組構成2維子空間，將\(A\)在此子空間中表示，是一個2x2矩陣，對角化成本極低，但是可能需要增加循環步數。
或
直接將與\(b_0\)正交化，但未歸一化的\(b\)與\(b_0\)相加得到新的\(b_0\)，免去對角化操作。
思路3. 減少矩陣乘法
中，$ \prod\limits_{i=1}^M(I-B_iB_i^T) $可以被簡化為 $ (I-\sum\limits_{i=1}^MB_iB_i^T) \(，這里用到了\)B\(基組的正交性。這一步可能會節省很多時間。此外這一步不需要每次循環時計算，即每次在向B中擴充新基的時候減去新的\)bb^T$即可。
三、可能遇到的問題
若初始的基組\(B\)只取一個基函數，這時本征值與對應的\(A\)矩陣對角元相等，導致
中遭遇奇異矩陣。此時可以將對角矩陣的對應元加一個正的微擾即可。此處\((A^0-\lambda_0I)\)最好保持正定，特別是在使用簡化的牛頓法時。牛頓法要求Hesse矩陣保持正定以求函數的極小值點。
同時，初始的子空間的估計最好能夠比較接近真實的情況，否則有可能出現收斂到別的本征值上的問題，特別是簡化的牛頓法。