信號相似性的描述

信號相似性的描述

 

        在很多的應用場合，經常要描述兩個信號的相似性。比如在雷達的信號檢測中，要比較所接收的信號是否就是發射信號的延時。有時候，甚至還要描述一個信號本身的相似性，比如在語音編碼中，要通過語音信號本身的相似性，來預測下一時刻的信號值。

       我們知道，在信號處理中，用相關函數來描述信號的相似性。描述兩個信號之間的相似性用互相關函數；描述信號本身的相似性用自相關函數。我們要問的是，相關函數在何種意義上表征了信號的相似性？如何從直觀上來理解？

       假定我們要描述兩個信號的相似性，最直觀的辦法就是將兩個信號相減，計算其誤差能量。如果誤差能量為0，說明兩個信號完全一致。誤差能量越大，則說明兩個信號越“不像”。這只是最簡單的情況。復雜一些的情況是，如果兩個信號形狀一致，但幅度大小不同，比如說兩個同頻的單頻正弦信號，一個幅度為2，一個幅度為1，我們知道這兩個信號也是非常之像的，但用上面這種辦法就行不通了。假定第一個信號為s1(n),第二個信號為s2(n)，那么很明顯，我們希望構造如下的誤差信號：

                     v(n)=s1(n)-A*s2(n)

這時直觀上表征這兩個信號“像不像”的指標是這個誤差信號的能量最小。也即是：

                 Ev=∑v²(n)=∑[s1(n)-A*s2(n)]²

                 =∑s1²(n)-2A*∑s1(n)* s2(n)+A^2*∑s2²(n)

                                 =E1-2A*∑s1(n)* s2(n)+A²*E2

其中Ev表示誤差能量，E1、E2分別表示s1和s2這兩個信號的能量。為使上述誤差能量最小，由簡單的微積分知識，可知此時A的取值為：

               A=∑s1(n)* s2(n)/E2

如果將兩個信號的相關函數定義為：

        C=∑s1(n)* s2(n)

此時的誤差能量為：

               Ev=E1-C²/E2

最理想的情況是誤差能量為0，此時相關函數C²=E1*E2。也就是說，當兩個信號的相關函數的值為這兩個信號的幾何平均值時，這兩個信號是完全一致的。相關函數越大，則誤差能量越小，即兩個信號越相似。也就是說，信號的相似性可以完全由信號的相關函數來描述。

       在實際情況中，兩個一樣的信號，可能相互有延遲，這兩個信號也是很像的，這同樣可以很好地反映在相關函數中，此處就不再多說。