相似三角形·中考

本文轉載自查看原文 2019-07-14 22:02 668 數學/ 幾何

概述
1. 相似，主要是相似三角形，在中考中有舉足輕重的地位，難度也較高，往往倒三題中至少有一題是圓和相似的結合
2. 相似常常和四邊形、反比例函數、圓、二次函數等結合，十分靈活
比例性質
1. 概念
  1. 若$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則稱$a,b,c,d$成比例，$a,d$稱為比例外項，$b,c$稱為比例內項，其中$a,b,c,d$分別是第一、二、三、四比例項
  2. 在$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，即$b^2=ac$中，稱$b$為$a,c$的比例中項
  3. 若$a,b,c,d$是線段，只能取正，否則可正可負
2. 基本性質
  1. $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \leftrightarrow ad=bc$，由$ad=bc$可得①$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$②$\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$③$\displaystyle \frac{d}{b}=\frac{c}{a}$④$\displaystyle \frac{d}{c}=\frac{b}{a}$
  2. 根據性質，常利用設$k$法來求某代數式的值
3. 比例性質
  1. 基本性質：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc(bd\neq0)$
  2. 反比定理：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{b}{a}=\frac{d}{c}(abcd\neq0)$
  3. 更比定理：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d},\frac{d}{b}=\frac{c}{a}(abcd\neq0)$
  4. 合比定理：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
  5. 分比定理：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$
  6. 合分比定理：$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$
  7. 等比定理：$\displaystyle \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdot\cdot\cdot=\frac{a_n}{a_n}=k(\Sigma^n_{i=1}b_i\neq0)\Rightarrow \frac{\Sigma_{i=1}^n{a_i}}{\Sigma_{i=1}^n{b_i}}=k(\Sigma^n_{i=1}b_i\neq0)$（思想：等比設$k$）
比例尺
1. 概念
  1. 比例尺=圖距：實距面積之比=（縮放倍數）²
2. 結合三角函數考地理題（等高線地形圖等等）
  1. 注意單位的轉換
  2. 注意基准高度（基層的等高線）
黃金分割
1. 概念
  1. 定義
    1. C在AB上，分線段為AC，BC（AC>BC）若$\displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$（$\displaystyle \frac{長}{全}=\frac{短}{長}$，即$AC^2=AB\cdot BC$），則稱AB被C黃金分割
    2. 任何線段都有兩個黃金分割點
  2. 求黃金比：列方程即可
    1. 設AB=1，AC=x，由定義得$\displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$……
  3. 尺規作圖：構造$\displaystyle \sqrt{5}$
    1. 注：圖中只畫了一個黃金分割點，另一個需要再用圓規截取
平行線間線段成比例
1. 若$l_1//l_2//l_3$，則$\displaystyle \frac{FB}{BC}=\frac{AE}{ED}=\frac{GH}{HM}$，$\displaystyle \frac{AE}{AD}=\frac{FB}{FC}=\frac{GH}{GM}$，$\displaystyle \frac{FB}{GH}=\frac{BC}{HM}=\frac{FC}{GM}$
2. 證明
4. 尺規作圖
  1. 構造已知線段的比
    1. 現有長度為$a,b,1$的線段，求作長度為$\frac{a}{b}$的線段
相似三角形的概念、性質和判定
1. 概念：各角相等，各邊成比例的三角形，對應邊的比值叫做相似比。（可推廣於任意邊型）
2. 判定
  1. 內容
    1. 兩角對應相等的三角形相似
    2. 兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似
    3. 三邊對應成比例的三角形相似
  2. 格式
    1. $∵\angle E = \angle A ， \angle F = \angle C$
      $∴\triangle DEF ∽ \triangle BAC$
      1. 不需要寫“在××中”，與全等不同
      2. 要注意嚴格的對應關系，在寫條件的角和邊的時候都要嚴格對應，與全等相同（我被扣了一年的分）
    2. $\displaystyle ∵\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF} , \angle C=\angle F$
      $∴\triangle ABC ∽ \triangle DEF$
  3. 解題
    1. 斜邊和一條直角邊對應成比例的2個直角三角形相似（不可用）
      1. 在說明直角三角形時，不僅要說明直角，還要寫$Rt \triangle$，且最后在寫答案時一定要體現$Rt$
        
        勾股定理中，要寫$Rt \triangle 中 \angle = 90^{\circ}$
        
        在$HL$中，要寫$在Rt \triangle ABC 和 Rt \triangle DEF中，\angle ABC=\angle DEF =90^{\circ}$
    2. 注意對應邊成比例，一個比例的分子和分母必須分在兩個三角形中
3. 性質
  1. 內容
    1. 對應角相等
    2. 對應邊成比例
    3. 周長比=對應高，角平分線的比=相似比
      1. 2,3兩條總結為“對應線段成比例”
    4. 面積=相似比²
  2. 格式
    1. $∵\triangle ABC ∽ \triangle DEF$
      $\displaystyle ∴\angle ABC = \angle DEF , \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$（嚴格的對應關系）
基本模型
1. “A”型
  1. 要求：平行且同側（可以由平行直接得）
  2. 考題往往和面積與邊長相關，這種相似三角形有明顯的比例關系，兩個三角形一般會有重合部分，可以對關鍵線段設未知數求解；
2. 斜“A”型
  1. 要求：有一個公共角和一個等角
    1. 僅共角，有$\displaystyle \triangle ADE ∽ \triangle ACB \Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
    2. 共角共邊，有$\displaystyle \triangle ADC ∽ \triangle ACB \Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB} \Rightarrow AC^2=AD·AB$
3. “8”字形
  1. 由$DE//BC$或$\angle B=\angle D$得到$\displaystyle \triangle ADE=\triangle ABC\Rightarrow \frac{AD}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
4. 旋轉型相似
  1. 邊成比例+夾角相等
  2. 注意：旋轉型相似不會直接給出，常常隱含在其他的旋轉關系中
5. “k”型相似（一線三等角）
  1. 顯然有$\triangle BDE ∽△CEF$
  2. 特別地，在$BE=EC$使，有$△BDE∽△EDF∽△CEF$
6. 垂直型相似
  1. 射影定理
  2. 三直角模型，屬於三等角，比例關系顯而易見
實際問題
1. 主要是物理題，沒什么難度