已知拋物線 \(C:x^2=2py\) ，弦 \(AB\) 過 \(C\) 的焦點 \(F\) ，過 \(A,B\) 兩點作拋物線 \(C\) 的兩條切線，若兩切線相交於點 \(P\) ，則
(1) \(AP\perp PB\) ；
(2) 點 \(P\) 在拋物線 \(C\) 的准線上。
證明：設 \(A\Big(x_1,\dfrac{x_1^2}{2p}\Big),B\Big(x_2,\dfrac{x_2^2}{2p}\Big),P(x_0,y_0)\) ，設過點 \(P\) 的切線斜率為 \(k\) ，則切線方程為 \(y=y_0+k(x-x_0)\) ，聯立拋物線方程得
\[x^2-2pkx+2pkx_0-2py_0=0 \]
令 \(\Delta=0\) 得
\[4p^2k^2-8px_0k+8py_0=0 \]
故
\[k_1+k_2=\dfrac{2x_0}{p},k_1k_2=\dfrac{2y_0}{p} \]
所以
\[x=\dfrac{2pk\pm\sqrt{\Delta}}{2}=pk\;\Longrightarrow\;x_1=pk_1,x_2=pk_2 \]
則 \(A\Big(pk_1,\dfrac{pk_1^2}{2}\Big), B\Big(pk_2,\dfrac{pk_2^2}{2}\Big)\)，由 \(A,F,B\) 三點共線得 \(k_{AF}=k_{FB}\) ，即
\[\dfrac{\dfrac{pk_1^2}{2}-\dfrac p2}{pk_1}=\dfrac{\dfrac{pk_2^2}{2}-\dfrac p2}{pk_2} \]
化簡得
\[\dfrac{(k_1k_2+1)(k_1-k_2)}{k_1k_2}=0 \]
因為 \(k_1\neq k_2\) ，所以 \(k_1k_2=-1\) , 所以 \(AP\perp PB\) .
又 \(k_1k_2=\dfrac{2y_0}{p}=-1\) ，所以 \(y_0=-\dfrac{p}{2}\) . 所以點 \(P\) 在拋物線的准線上。