設 $V$ 是復數域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, $A\in M_n(\mathbb{C})$ 是 $\varphi$ 在某組基下的表示矩陣, 則我們有線性變換或矩陣的 Jordan 標准型理論. 具體的, 若設 $\varphi$ 或 $A$ 的初等因子組為 $(\lambda-\lambda_1)^{r_1}$, $(\lambda-\lambda_2)^{r_2}$, $\cdots$, $(\lambda-\lambda_k)^{r_k}$, 則存在 $V$ 的一組基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$, 使得 $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為 Jordan 標准型 $$J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_2}(\lambda_2),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k)\},$$ 或者等價地, $A$ 相似於其 Jordan 標准型 $J$.
Jordan 標准型理論是深入研究線性變換的幾何性質和矩陣的代數性質的重要工具. 注意到 Jordan 塊是構成 Jordan 標准型的基本成分, 因此我們有必要仔細研究一下 Jordan 塊背后具體的幾何結構是什么呢?
為了敘述方便, 以下不妨設 $\varphi$ 在一組基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$ 下的表示矩陣就是一個 Jordan 塊 $$J_n(\lambda_0)=\begin{pmatrix} \lambda_0 & 1 & & & \\ & \lambda_0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \lambda_0 \end{pmatrix},$$ 由表示矩陣的定義可得 $$\varphi(e_1)=\lambda_0e_1,\,\,\varphi(e_2)=e_1+\lambda_0e_2,\,\,\cdots,\,\,\varphi(e_n)=e_{n-1}+\lambda_0e_n.$$
Part A 循環子空間
顯然, $\varphi$ 的所有特征值都是 $\lambda_0$, 再由簡單的計算可知, $\varphi$ 關於特征值 $\lambda_0$ 只有一個線性無關的特征向量 $e_1$, 其余的向量 $e_2,\cdots,e_n$ 都稱為廣義特征向量. 令 $\psi=\varphi-\lambda_0I_V$, 則有如下關系圖: $$e_n\stackrel{\psi}{\rightarrow}e_{n-1}\stackrel{\psi}{\rightarrow}\cdots\stackrel{\psi}{\rightarrow}e_1\stackrel{\psi}{\rightarrow}0,$$ 這說明 $V=L(e_1,e_2,\cdots,e_n)=C(\psi,e_n)$ 是關於線性變換 $\psi$ 的循環空間, 其循環向量是 $e_n$. Jordan 塊對應的循環子空間有許多有趣的應用, 比如可以巧妙地求出 $J_n(0)^m\,(m\geq 1)$ 的 Jordan 標准型等, 具體請參考教學論文 [1].
Part B 不變子空間
我們知道 $\varphi$ 的特征多項式和極小多項式都等於 $(\lambda-\lambda_0)^n$, 下面我們來找出 $V$ 的所有 $\varphi$-不變子空間.
方法一 顯然 $V_i=L(e_1,e_2,\cdots,e_i)\,(0\leq i\leq n)$ 都是 $\varphi$-不變子空間, 我們來證明 $V$ 只有這 $n+1$ 個 $\varphi$-不變子空間. 注意到 $\varphi$-不變子空間等價於 $\psi$-不變子空間, 任取非零 $\psi$-不變子空間 $U$, 設 $$k=\max\{\,\,i\,\,|\,\,\exists\,u\in U,\,\,u=c_1e_1+\cdots+c_ie_i+\cdots+c_ne_n,\,\,\text{其中}\,c_i\neq 0\},$$ 則 $U\subseteq L(e_1,e_2,\cdots,e_k)$. 另一方面, 取 $u\in U$, 使得 $u=c_1e_1+c_2e_2+\cdots+c_ke_k$, 其中 $c_k\neq 0$, 則由循環關系可得 $u=(c_1\psi^{k-1}+c_2\psi^{k-2}+\cdots+c_kI_V)(e_k)$. 令 $g(\lambda)=c_1\lambda^{k-1}+c_2\lambda^{k-2}+\cdots+c_k$, 則 $(g(\lambda),\lambda^n)=1$, 於是存在 $p(\lambda),q(\lambda)$, 使得 $g(\lambda)p(\lambda)+\lambda^nq(\lambda)=1$. 在上式中代入 $\lambda=\psi$ 並作用在 $e_k$ 上可得 $$e_k=p(\psi)g(\psi)(e_k)+q(\psi)\psi^n(e_k)=p(\psi)(u)\in U,$$ 於是由循環關系可得 $e_i\in U\,(1\leq i\leq k)$, 從而 $U=L(e_1,e_2,\cdots,e_k)$.
方法二 任取非零 $\varphi$-不變子空間 $U$, 容易證明限制變換 $\varphi|_U$ 的特征多項式是 $\varphi$ 的特征多項式 $(\lambda-\lambda_0)^n$ 的因式, 不妨設為 $(\lambda-\lambda_0)^k$, 其中 $1\leq k\leq n$, 由 Cayley-Hamilton 定理可知 $U\subseteq \mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)^k=\mathrm{Ker\,}\psi^k$. 任取 $v=\sum_{i=1}^nc_ie_i\in\mathrm{Ker\,}\psi^k$, 則 $$0=\psi^k(v)=c_{k+1}\psi^k(e_{k+1})+\cdots+c_n\psi^k(e_n)=c_{k+1}e_1+\cdots+c_ne_{n-k},$$ 於是 $c_{k+1}=\cdots=c_n=0$, 從而 $\mathrm{Ker\,}\psi^k=L(e_1,\cdots,e_k)$. 注意到 $\dim U=\deg(\lambda-\lambda_0)^k=k$, $\dim\mathrm{Ker\,}\psi^k=k$, 於是 $U=\mathrm{Ker\,}\psi^k=L(e_1,\cdots,e_k)$.
Part C 極小性或不可再分性
由 Jordan 標准型理論可知, Jordan 塊在相似關系下應該具有極小性, 或者稱為不可再分性. 換言之, 不存在兩個非零的 $\varphi$-不變子空間 $U,W$, 使得 $V=U\oplus W$.
證法一 由 Part B 的結論可知, 任一非零 $\varphi$-不變子空間都要包含特征向量 $e_1$, 故 $U\cap W\neq 0$, 因此它們不可能是直和.
證法二 用反證法, 如果有上述 $\varphi$-不變直和分解, 那么 $\varphi$ 限制在 $U,W$ 上都有關於特征值 $\lambda_0$ 的特征向量, 從而至少有兩個線性無關的特征向量, 這與 $\varphi$ 只有一個線性無關的特征向量相矛盾.
Part D 不可對角性
若 $n\geq 2$, 則由五條可對角化判定准則中的任何一條可知, $\varphi$ 不可對角化. 我們再從另一個角度來看這個問題, 高代白皮書的例 7.15 告訴我們: $\varphi$ 可對角化的充要條件是對 $V$ 的任一 $\varphi$-不變子空間 $U$, 存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=U\oplus W$, 於是由 Part C 的結論可知, $\varphi$ 不可對角化.
Part E 從局部到整體的推廣
接下去設 $\varphi$ 的初等因子組為 $(\lambda-\lambda_1)^{r_1}$, $(\lambda-\lambda_2)^{r_2}$, $\cdots$, $(\lambda-\lambda_k)^{r_k}$, 特征多項式為 $f(\lambda)$, 極小多項式為 $m(\lambda)$. 首先, 全空間是 $k$ 個循環子空間的直和, 即有 $$V=C(\varphi-\lambda_1I_V,e_{r_1})\oplus C(\varphi-\lambda_2I_V,e_{r_1+r_2})\oplus\cdots\oplus C(\varphi-\lambda_kI_V,e_n).$$
其次, 若 $f(\lambda)\neq m(\lambda)$, 則存在某個特征值 $\lambda_0$, 它至少有兩個初等因子, 從而其特征子空間的維數大於等於 2, 由此可看出 $V$ 有無窮個 $\varphi$-不變子空間. 若 $$f(\lambda)=m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{r_k},$$ 其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$ 是 $\varphi$ 的全體不同的特征值, 令 $V_i=\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_iI_V)^{r_i}$ 為對應的根子空間, 則 $V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k$. 設 $\varphi|_{V_i}$ 的特征多項式為 $f_i(\lambda)$, 極小多項式為 $m_i(\lambda)$, 則由高代白皮書的例 7.21 可知, $f_i(\lambda)=m_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_i)^{r_i}$. 任取 $V$ 的 $\varphi$-不變子空間 $U$, 設 $\varphi|_U$ 的特征多項式為 $g(\lambda)$, 則 $g(\lambda)\mid f(\lambda)$, 若設 $$g(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{s_1}(\lambda-\lambda_2)^{s_2}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{s_k},\,\,\,\,U_i=\mathrm{Ker}(\varphi|_U-\lambda_iI_U)^{s_i},$$ 則由高代白皮書的例 7.21 可知, $U=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_k$, 其中 $U_i$ 是 $V_i$ 的 $\varphi$-不變子空間. 由 Part B 的結論不難寫出 $U$ 的形狀, 這樣的 $\varphi$-不變子空間一共有 $(r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)$ 個.
Part F 從復數域到一般數域的推廣
設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, $\varphi$ 的初等因子組為 $P_1(\lambda)^{r_1}$, $P_2(\lambda)^{r_2}$, $\cdots$, $P_k(\lambda)^{r_k}$, 其中 $P_i(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的首一不可約多項式, $r_i\geq 1$. 在高代白皮書的例 7.66 和例 7.67 中, 我們給出了一般數域上基於初等因子的兩種廣義 Jordan 標准型, 其中兩種廣義 Jordan 塊為 $$(\mathrm{I})\,\,\,\,\,\,\,\,J_{r_i}(P_i(\lambda))=\begin{pmatrix} F(P_i(\lambda)) & I & & & \\ & F(P_i(\lambda)) & I & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & I \\ & & & & F(P_i(\lambda)) \end{pmatrix},$$ $$(\mathrm{II})\,\,\,\,\,\,\,\,\widetilde{J}_{r_i}(P_i(\lambda))=\begin{pmatrix} F(P_i(\lambda)) & C & & & \\ & F(P_i(\lambda)) & C & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & C \\ & & & & F(P_i(\lambda)) \end{pmatrix},$$ 其中 $I$ 表示單位陣, $C$ 表示左下角元素為 1, 其余元素為零的矩陣.
在博文《16 級高代 II 思考題九的七種解法》中, 我們看到: 第一類廣義 Jordan 塊比較適合矩陣帶入多項式或冪級數進行整體計算 (由於單位陣的交換性); 而第二類廣義 Jordan 塊比較適合考慮基向量在線性變換作用下的關系, 此時第二類廣義 Jordan 塊對應的空間是一個循環空間, 最后一個基向量就是循環向量.
根據教學論文 [2] 中關於循環子空間的討論, 或者根據上面第二類廣義 Jordan 塊和 Part B 完全類似的討論可得: 設 $\varphi$ 的特征多項式為 $f(\lambda)$, 極小多項式為 $m(\lambda)$, 若 $$f(\lambda)=m(\lambda)=P_1(\lambda)^{r_1}P_2(\lambda)^{r_2}\cdots P_k(\lambda)^{r_k},$$ 其中 $P_i(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互異的首一不可約多項式, 則 $\varphi$-不變子空間共有 $(r_1+1)(r_2+1)\cdots (r_k+1)$ 個; 若 $f(\lambda)\neq m(\lambda)$, 則 $V$ 有無窮個 $\varphi$-不變子空間.
數域 $\mathbb{K}$ 上線性變換的不可再分性由下列命題刻畫, 請參考教學論文 [3] 的例 2.
命題 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, $\varphi$ 的特征多項式為 $f(\lambda)$, 極小多項式為 $m(\lambda)$, 則 $V$ 不能分解成兩個非零 $\varphi$-不變子空間的直和的充要條件是 $f(\lambda)=m(\lambda)=P(\lambda)^r$, 其中 $P(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的首一不可約多項式, $r\geq 1$.
16 級高代 II 期中考試第六大題也和不可再分性有着密切的關系.
第六大題 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi$ 的特征多項式等於其極小多項式, 證明: 對 $V$ 的任一非零 $\varphi$-不變子空間 $U$, 限制變換 $\varphi|_U$ 的特征多項式也等於其極小多項式.
最后, 高階廣義 Jordan 塊也具有不可對角性, 這可由高代白皮書例 7.66 的結論直接得到, 也與博文《16 級高代 II 思考題十的多種證明》有一定的聯系, 請感興趣的讀者自行參考.
參考文獻
[1] 謝啟鴻, 循環子空間的若干應用, 大學數學, 2016, 32(1), 1–6.
[2] 謝啟鴻, 循環子空間的進一步應用, 大學數學, 2017, 33(1), 17–25.
[3] 謝啟鴻, 楊翎, 線性變換的特征多項式誘導的直和分解, 高等數學研究, 2015, 18(1), 40–43.