一、引入
前面已經指出，一切n階矩陣A可以分成許多相似類。今要在與A相似的全體矩陣中，找出一個較簡單的矩陣來作為相似類的標准形。當然以對角矩陣作為標准形最好，可惜不是每一個矩陣都能與對角矩陣相似。因此，急需引入一種較為簡單而且對於一般矩陣都可由相似變換得到。
當矩陣A能相似於某對角矩陣時，該對角矩陣就是A的一個Jordan形。而當矩陣A不能相似於對角矩陣時，它必然與一個非對角的Jordan形相似。此時的Jordan形J與對角矩陣的差別也只是在主對角線元素的上鄰位有某些元素為1.在這個意義上，Jordan標准型可以說是與A相似的矩陣中最簡單的了。
Jordan標准型應用廣泛。如果能夠得到一個線性變換或者線性變換矩陣，那么我們可以迅速地得到線性微分方程組，特征多項式等。
二、定義
設T是復數域C上的線性空間Vn的線性變換，任取Vn上一個基，T在該基下的矩陣是A，T(或A)的特征多項式可分解因式為
φ(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2...(λ-λt)mt
m1+m2+...+mt=n
則Vn可分解成不變子空間的直和
Vn=N1直和N2直和...Nt
其中Nt=（x|（T-λiTi）mi=0，x屬於Vn）是線性變換T-λiTi的核子空間。（有點看不清）
舉個例子：
特征多項式為φ(λ)=（λ+1）2（λ-5）
則Jordan標准型為
-1 1 或 5
-1 -1 1
5 -1
三、簡單的結論
（1）對於給定的矩陣A，在不計各Jordan塊排列次序的意義下，A的Jordan標准型是唯一的。
（2）方陣A的Jordan標准型J是上三角矩陣，其主對角線上元素恰好是A的全部特征值。
（3）對角矩陣本社是Jordan形，它的每個對角元都是一個一階的Jordan塊。
四、定理
（1）兩個同階方陣相似的充要條件是它們的Jordan形一致。（忽略排序因素）
（2）矩陣A能與對角矩陣相似的充要條件是它的初等因子全為一次式。
（3）如果n階矩陣A的全部特征值為λ1，λ2...λn，則矩陣Am的全部特征值恰是λ1m，λ2m...λnm。（這里，λ1,λ2...λn可以相同）
（4）設n階矩陣A的全部特征值為λ1，λ2...λn，則對於任意多項式f（λ），矩陣A的全部特征值為f(λ1),f(λ2),...,f(λn)
注意：
最后需要指出，在許多實際問題中，復數往往沒有多大意義，因此，需要在實數域R上來求標准型。
參考文獻
《矩陣論》 程雲鵬