老久沒更了，冬令營也延期了（延期后豈不是志願者得上學了？）
最近把之前欠了好久的債，諸如FFT和Matrix-Tree等的搞清楚了（啊我承認之前只會用，沒有理解證明……），FFT老多人寫，而MatrixTree沒人證我就寫一下吧……
Matrix Tree結論
Matrix Tree的結論網上可多，大概一條主要的就是，圖中生成樹的數量等於 \(V-E\) 的任一余子式，其中：
- \(V\) 為對角陣，第 \(i\) 個元素為點 \(i\) 的度數
- \(E\) 為對稱陣，對角線為零且 \(E_{i,j}\) 為點 \(i\) 與點 \(j\) 之間邊的數量的相反數
圖的關聯矩陣
為了求無向圖中有多少組 \(n-1\) 條邊可以形成樹，一般需要枚舉所有的可能，無法在多項式內解決，但我們利用數學工具將其轉換——引入關聯矩陣
為了后面討論我們給每條邊隨意分配一個方向。
圖的鄰接矩陣是一個 \(n\times n\) 的用於存儲圖的矩陣。而關聯矩陣 \(A\) 則為 \(n\times m\) 的矩陣，其中行對應點，列對應邊，如果 \(A_{i,j}\) 非零，則說明第 \(j\) 條邊的起點或終點為點 \(i\)（如 \(i\) 為起點則為 \(+1\)，終點則為 \(-1\)，否則為 \(0\)）。如下圖即為一張 \(4\) 點 \(5\) 邊的圖的關聯矩陣：
可以看到，如果只考慮這張圖的結構的話，關聯矩陣的行之間或列之間隨意交換都是無所謂的（行交換代表點重新編號……）
我們可以證明一個結論，任意連通圖的關聯矩陣秩為 \(n-1\)。
有兩種理解方式：
- 按行來看：
- 首先去掉任意一行都是可以復原的：因為每一列都是一個 \(+1\) 一個 \(-1\)，可以輕松由其他 \(n-1\) 行得到這一行。故去掉任意一行不會丟失信息，秩 \(\le n-1\)；
- 其次去掉任意兩行都是無法復原的：因為任意去掉兩行 \(x,y\)，在這張連通圖上找到一條 \(x\) 到 \(y\) 的路徑，取其中 \(x\to y\) 方向第一條邊 \(a\)、\(y\to x\) 方向第一條邊 \(b\)，則在還原關聯矩陣時無法確定非零位置是 \((x,a)\&(y,b)\) 還是 \((x,b)\&(y,a)\)。故去掉任意兩行都會丟失信息，秩 \(\ge n-1\)
- 再按列來看更為顯然：
- 由於列對應邊，故選取若干列，若這些列對應的邊在圖上組成了環，則一定線性相關（因為將環按一個方向捋一遍然后加起來一定為零）
- 故要求“最多的線性無關的列”，也即求“在不出現環的前提下最多能找出多少邊”，答案顯然為 \(n-1\)
這下從行列兩個方向證明了這個結論，但有何用處呢？
我們剛在從列的方向證明結論時用到了“生成樹”的概念，仔細考慮一下，求“圖中有多少種 \(n-1\) 條邊的組合沒有環”，等價於求“關聯矩陣中有多少種 \(n-1\) 列的組合線性無關”
同時我們證明了 \(n\) 個行中總有一個是多余的，故考慮刪去其中一行對答案無影響。
這下將圖中的問題轉化為了矩陣中的問題，但是否將過程復雜化了呢？
Binet-Cauchy公式
為了解決這個問題，我們需要引入 Binet-Cauchy公式：
若存在 \(n\times m\) 的矩陣 \(A\) 與 \(m\times n\) 的矩陣 \(B\)，則矩陣 \(AB\) 的行列式等於：從 \(m\) 中任意選取 \(n-1\) 個指標，並取出 \(A\) 的這 \(n\) 列得到 \(A'\)，和 \(B\) 的這 \(n\) 行的得到 \(B'\)，將它們行列式乘起來得到 \(\det A'\times \det B'\)，對所有共 \(C_m^n\) 種選取情況求和。
數學表達：
（其中 \(U\) 表示集合 \(\{1,2,\dots,m\}\)，\(A_S\) 表示取出 \(S\) 中下標的列組成的矩陣，\(B_S\) 表示取出 \(S\) 中下標的行組成的矩陣）
可以發現其中幾種特殊情況：
- \(n=1\)：此時公式等價於計算兩個 \(m\) 維向量的點積
- \(n=m\)：此時公式等價於表示 \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) 的行列式可乘性質
- \(n>m\)：此時公式中由於無法選出任何一組，故右邊恆等於 \(0\)，其表達的其實是矩陣 \(AB\) 不滿秩
這個公式的證明過於繁瑣，不予展開，但可以感性理解：\(AB\) 是 \(A\) 的以 \(B\) 為系數的線性組合，將 \(AB\) 的行列式展開后分離貢獻，\(\det (A_S)\) 的系數是 \(\det(B_S)\)
利用公式
為了解決這個問題引入這個公式，很明顯是和其中的共同擁有的“任意選取”、“線性無關”兩個因素有關。
很容易想到是想要將圖的關聯矩陣 \(D\)（去掉一行后）放入 \(A\) 或 \(B\) 的位置，但具體怎么放，另一個矩陣又是什么？
引理：連通圖的關聯矩陣中，任意一個子矩陣的行列式都為 \(\pm 1\) 或 \(0\)
證明：
- 若子矩陣不可逆，則行列式自然為零
- 若子矩陣可逆，則不可能每一列都同時存在兩個非零項（否則每一列都是一個 \(+1\) 一個 \(-1\)，將所有行加起來一定是 \(0\)），故按只有一個非零項的列進行行列式展開，則可以歸納至低一階的情況
有了這個引理，可以非常自然的考慮將 \(A\) 設為 \(D\)，\(B\) 設為 \(D^T\)，則 \(A_S\) 和 \(B_S\) 都是取 \(D\) 的不同列向量組成的矩陣。
由於我們證明了，列線性無關的子矩陣行列式一定為 \(\pm 1\)，則平方后一定為 \(1\)。再利用上述公式，故原問題的的答案即為 \(\det (AB)\)
至於 \(AB\) 是啥？\(AB=DD^T\)
考慮下關聯矩陣 \(D\) 的定義，即可發現 \((AB)_{i,j}\)：
- 當 \(i=j\) 時：\((AB)_{i,i}\) 為 \(D\) 第 \(i\) 行與自己的點積，由於非零項都為 \(\pm 1\)，則 \((AB)_{i,i}\) 即為第 \(i\) 行的非零項個數——即點 \(i\) 的度數
- 當 \(i\ne j\) 時：\((AB)_{i,j}\) 為 \(D\) 第 \(i\) 行與 \(j\) 的點積，由於每一列都只有兩個元素（一個 \(+1\) 一個 \(-1\)），故每個位置如果有值，則一定為 \(-1\)，\((AB)_{i,j}\) 即為它們求和——點 \(i\) 與點 \(j\) 之間邊的數量的相反數
總結
回顧整個過程：
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問題一開始是“有多少種選取 \(n-1\) 條邊的方式，使選出的邊構成樹”
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然后引入圖的關聯矩陣，證明了其秩為 \(n-1\)，同時也發現問題等價於“有多少種在關聯矩陣中選取 \(n-1\) 列的方式，使選出的列線性無關”（同時發現刪去關聯矩陣任意一行對答案無影響）
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針對“任意選取”和“線性無關”兩個特點，引入了同樣擁有這兩個特點的 Binet-Cauchy公式
- 利用 Binet-Cauchy任意選取的特點，和“線性無關\(\iff\) 行列式非零”的性質，希望將關聯矩陣放入公式
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為了將關聯矩陣放入公式，證明了關聯矩陣中任意一個子矩陣行列式為 \(\pm 1\) 或 \(0\)
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巧妙地將 \(A\) 設為 \(D\)，\(B\) 設為 \(D^T\)，則得到的結果 \(\det(AB)\)
- 等價於：任取 \(D\) 的 \(n-1\) 列求出行列式，平方后求和。
- 等價於：任取 \(D\) 的 \(n-1\) 列，行列式非零的方案數
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考慮 \(AB=DD^T\) 的現實意義，得到開頭提到的Matrix Tree定理
有向生成樹的擴展
剛才討論的都是無向生成樹，可以考慮到有向生成樹的情況：
- 由於點可以重新標號，我們只考慮以 \(1\) 號點為根的情況
- 由於內向生成樹可以將邊取反后求外向生成樹，故只考慮外向生成樹的情況
考慮外向生成樹關聯矩陣的特點：除了根以外每一行都只有一個 \(-1\)（樹上只有一個父親）
而若生成樹不是外向生成樹，則一定存在一個點 \(x\)，關聯矩陣中 \(x\) 對應的那一行沒有 \(-1\)
所以可以考慮將原來每條邊“一個 \(+1\) 一個 \(-1\)”中的 \(+1\) 置為零，則在計算時：
- 如果這棵生成樹不是外向生成樹，則一定存在一行全為零，其行列式也為零
- 如果這棵樹是外向生成樹，由於每一行有一個 \(-1\)，故其行列式為 \((-1)^{n-1}\) 也只可能為 \(\pm 1\)