矩陣樹定理 Matrix Tree
矩陣樹定理主要用於圖的生成樹計數。
看到給出圖求生成樹的這類問題就大概要往這方面想了。
算法會根據圖構造出一個特殊的基爾霍夫矩陣\(A\)，接着根據矩陣樹定理，用\(A\)計算出生成樹個數。
1.無向圖的生成樹計數
對於給定的可含重邊的連通無向圖\(G\)，求其生成樹的個數。求法如下：
定義度數矩陣\(D\)：該矩陣僅在對角線上有值，\(D_{i,i}\)表示\(i\)號點的度數。對於圖中每一條無向邊\((u,v)\)，\(D_{u,u}\)++，\(D_{v,v}\)++。
定義鄰接矩陣\(C\)：\(C_{i,j}\)表示\(i\)到\(j\)的邊數。對於圖中每一條無向邊\((u,v)\)，\(C_{u,v}\)++，\(C_{v,u}\)++。
定義圖\(G\)的基爾霍夫矩陣\(A=D-C\)。
矩陣樹定理：將\(A\)去掉第\(i\)行和第\(i\)列（\(i\in[1,n]\)），將它當做一個行列式求解，則\(\det(A)\)就是生成樹個數。
2.有向圖的樹形圖計數
對於有向圖，不存在“生成樹”的概念，但存在“樹形圖”的概念。有向圖中，若選定一個點作為樹根，能構造出一棵“樹”（包含\(n-1\)條邊）使得根能到達任意節點，則這是一棵外向樹；若能構造出一棵“樹”使得任意節點能到達根，則這是一棵內向樹。
定義度數矩陣\(D\)：該矩陣僅在對角線上有值，\(D_{i,i}\)表示\(i\)號點的度數。
對於圖中每一條有向邊\((u,v)\)，若構造外向樹則\(D_{v,v}\)++；若構造內向樹則\(D_{u,u}\)++。
定義鄰接矩陣\(C\)：\(C_{i,j}\)表示\(i\)到\(j\)的邊數。對於圖中每一條有向邊\((u,v)\)，\(C_{u,v}\)++。
定義圖\(G\)的基爾霍夫矩陣\(A=D-C\)。
矩陣樹定理：將\(A\)去掉第\(i\)行和第\(i\)列（\(i\in[1,n]\)），將它當做一個行列式求解，則\(\det(A)\)就是以\(i\)為根的外向/內向樹形圖個數。很多時候我們會發現\(A\)的對角線上某數為\(A_{i,i}=0\)，刪去第\(i\)行和第\(i\)列可以干掉0。只有這樣行列式才不等於0，其實也就是說只能從\(i\)出發有解了。
3.細節
求行列式的方法是：將行列式通過行列式初等變換消成上三角。此時對角線乘積即為行列式的值。
注意，矩陣樹定理這一套算法會考慮如何把所有的參與點構建成生成樹，所以編號不要跳躍。如果說有障礙之類的元素，千萬不要在矩陣中給它留一行一列，因為這一行一列都一定是0，算法會嘗試將“障礙”構建進生成樹，最后只能得到無解。
一些例題
BZOJ 4031
傳送門在此
這是一道無向圖生成樹計數的裸題，直接上基礎算法即可。
這里就要注意障礙的處理了。我們應該對非障礙格子重新標號使得它們的編號連續，保證算法正常進行。
這題的模數真的惡心，不是質數，沒法用逆元。所以使用類輾轉相除法來消元，每行的消元從\(O(n)\)變成\(O(n\lg )\)。
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=10,MOD=1e9;
int n,m,id[N][N],idcnt,a[N*N][N*N];
char map[N][N];
inline void swap(int &x,int &y){x^=y^=x^=y;}
inline int plus(int x,int y){return (x+y)%MOD;}
inline int mul(int x,int y){return 1LL*x*y%MOD;}
inline bool ok(int x,int y){return 1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=m&&map[x][y]=='.';}
void addEdge(int u,int v){
a[u][u]++; a[v][v]++;
a[u][v]--; a[v][u]--;
}
int solve(){
if(idcnt==1) return 1;
int all=idcnt-1,res=1;
for(int i=1;i<=all;i++)
for(int j=i+1;j<=all;j++)
while(a[j][i]){
int t=a[i][i]/a[j][i];
for(int k=i;k<=all;k++){
int q=plus(a[i][k],-mul(a[j][k],t));
a[i][k]=a[j][k];
a[j][k]=q;
}
res=-res;
}
for(int i=1;i<=all;i++) res=mul(res,a[i][i]);
return (res+MOD)%MOD;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",map[i]+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
if(map[i][j]=='.') id[i][j]=++idcnt;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
if(ok(i,j)){
if(ok(i+1,j))
addEdge(id[i][j],id[i+1][j]);
if(ok(i,j+1))
addEdge(id[i][j],id[i][j+1]);
}
printf("%d\n",solve());
return 0;
}
BZOJ 4894
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這是一道有向圖樹形圖計數。要求以1號點為根的外向樹形圖個數。
按照上述做法直接寫即可。刪去\(A\)的第1行第1列，因為1號點沒有入邊，若不刪第一行第一列行列式值為0，無法計算。
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=305,MOD=1e9+7;
int n,a[N][N];
char str[N];
inline int mul(int x,int y){return 1LL*x*y%MOD;}
inline int plus(int x,int y){return (x+y)%MOD;}
inline void swap(int &x,int &y){x^=y^=x^=y;}
int ksm(int x,int y){
int res=1;
for(;y;x=mul(x,x),y>>=1)
if(y&1) res=mul(res,x);
return res;
}
int gaussian(){
int res=1,size=n-1;
for(int i=1;i<size;i++){
if(!a[i][i]){
int l;
for(l=i+1;l<=size;l++)
if(a[l][i]) break;
if(l<=size&&a[l][i]){
for(int j=i;j<=size;j++) swap(a[l][j],a[i][j]);
res=-res;
}
else return 0;
}
for(int j=i+1;j<=size;j++){
int t=mul(a[j][i],ksm(a[i][i],MOD-2));
for(int k=i;k<=size;k++)
a[j][k]=plus(a[j][k],-mul(a[i][k],t));
}
}
for(int i=1;i<=size;i++) res=mul(res,a[i][i]);
return plus(res,MOD);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%s",str+1);
for(int j=1;j<=n;j++)
if(str[j]=='1')
a[j][j]++,a[i][j]--;
}
for(int i=1;i<n;i++)
for(int j=1;j<n;j++) a[i][j]=a[i+1][j+1];
printf("%d\n",gaussian());
return 0;
}
BZOJ 4596
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我開始不會做了。
我們發現如果將所有公司提供的邊都加進圖中，然后求生成樹個數，是無法限制“每個公司至少要建一條”這個條件的。有的生成樹可能只有一部分公司參與，比如說某一種生成樹只含有\(S\)集合的公司。
如果僅加入\(S\)集合所含公司的邊，我們發現這些答案也會被統計到。既然有重復統計，可以考慮消除嗎？
於是容斥的思想就體現出來了！
我們枚舉加入哪一些公司，分別求生成樹個數。記參與公司集合為\(S\)時生成樹個數為\(f(S)\)，記有\(x\)個公司參與時的生成樹總方案為\(中有個A_x=\sum_{S中有x個}f(S)\)，則
復雜度為\(O(2^nn^3)\)，其實是可以跑的過的。
#include <cstdio>
#include <vector>
#define mp make_pair
#define pb push_back
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=18,MOD=1e9+7;
int n;
int a[N][N];
vector<pii> l[N];
vector<int> b[N];
inline bool in(int i,int j){return (i>>(j-1))&1;}
inline int plus(int x,int y){return (x+y)%MOD;}
inline int mul(int x,int y){return 1LL*x*y%MOD;}
inline void swap(int &x,int &y){x^=y^=x^=y;}
void clear_mat(){
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=0;
}
void add_company(int id){
for(int i=0,sz=l[id].size();i<sz;i++){
int u=l[id][i].first,v=l[id][i].second;
a[u][u]++; a[v][v]++;
a[u][v]--; a[v][u]--;
}
}
int ksm(int x,int y){
int res=1;
for(;y;x=mul(x,x),y>>=1)
if(y&1) res=mul(res,x);
return res;
}
int gaussian(){
int s=n-1,res=1;
for(int i=1;i<=s;i++){
if(!a[i][i]){
int t;
for(t=i+1;t<=s&&!a[t][i];t++);
if(t>s) return 0;
for(int j=i;j<=s;j++) swap(a[i][j],a[t][j]);
res=-res;
}
int inv=ksm(a[i][i],MOD-2);
for(int j=i+1;j<=s;j++){
int t=mul(a[j][i],inv);
for(int k=i;k<=s;k++)
a[j][k]=plus(a[j][k],-mul(a[i][k],t));
}
}
for(int i=1;i<=s;i++) res=mul(res,a[i][i]);
return res;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1,m;i<n;i++){
scanf("%d",&m);
for(int j=1,u,v;j<=m;j++){
scanf("%d%d",&u,&v);
l[i].pb(mp(u,v));
}
}
int all=1<<(n-1);
for(int i=1;i<all;i++){
int cnt=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
cnt+=in(i,j);
b[cnt].pb(i);
}
int ans=0;
for(int i=n-1,r=1;i>=1;i--,r=-r)
for(int j=0,sz=b[i].size();j<sz;j++){
clear_mat();
int st=b[i][j];
for(int c=1;c<n;c++)
if(in(st,c)) add_company(c);
ans=plus(ans,gaussian()*r);
}
ans=plus(ans,MOD);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
總結
矩陣樹定理本身還是挺簡單的，但願自己不要忘得太快......
但是要靈活運用（廢話）。
如果要深入透徹，我還是得研究一下矩陣樹定理的證明。不過就當一個大坑先留着吧。