先掛一個\(link\)
1、前置技能
\(In \ \ fact\),矩陣樹跟樹……嚴格意義上講，並沒有什么很大的關系，因為這個定理是基於圖的，而不是基於樹的。而對於這個定理，我們需要一系列前置操作：
一、對於矩陣的一堆定義：
\(G\)是一張無向圖:
\(D_{I,j}\)表示為度數矩陣，其中\(D_{i,i}\)記錄第\(I\)個節點的度數。
\(A_{I,j}\)表示為鄰接矩陣，其中\(A_{i,j}\)記錄這兩點之間連了多少條邊。
\(K_{I,j}\)稱為“基爾霍夫矩陣”\((\color{cyan}{Kirchhoff})\),而基爾霍夫矩陣的定義式為：$$\mathcal{K \ \ = \ \ D \ \ - \ \ A}$$
以上矩陣顯然都會是\(N \times N\)的qwq。
下圖是從網上扒翻出來的例子QAQ
二、對於行列式的一堆知識：
對於\(N\)階行列式\(det(A)\)的“主子式”,可以理解為是$A_{i,i} \ \ i \in [1,n] $的余子式。
而對於一個行列式，我們要求它的值，可以根據其定義\(N!\)算出，用到的式子是這個：
$$\sum\limits_{}^{}{(-1)^k\prod\limits_{1}^{n}{a_{i,b_i}}} \ \ = \ \ det(A) $$,
其中\(b_1\)~\(b_n\)是\(1\)~\(n\)的一種排列。
顯然的是，這個算法是\(O(N!)\)的，所我們並不能這么做。那我們可以根據其性質展開類似高斯消元一樣的算法，使其成為倒三角，然后對角線相乘\(over\).
int I, j, k, ans ;
int Gauss_work()
{
ans = 1;
for(i = 1; i < n; i ++)
{
for(j = i + 1; j < n; j ++)
while(f[j][i]){
t = f[i][i] / f[j][i];
for(k = i; k < n; k ++)
f[i][k] = (f[i][k] - t * f[j][k] + mod) % mod;
swap(f[i], f[j]);
ans = - ans;
}
ans = (ans * f[i][i]) % mod;
}
return (ans + mod) % mod;
}
還是老套路，\(i\)枚舉主對角線上的第幾個第幾個元素，\(j\)枚舉剩下的行，然后和每一行輾轉相除\(qwq\)，在這時\(k\)的枚舉用來按位加減。
這個玄學的代碼，為了防止出現double，所以采取輾轉相除的方式，具體的輾轉相除是這一段代碼
while(f[j][i]){
t = f[i][i] / f[j][i] ;
for(k = i; k < n; k ++){
f[i[k] = f[i][k] - t * f[j][k] ;
}
swap(f[j], f[i]) ;
ans = -ans ;
}
這樣既保證了會消成\(0\)，又可以不出\(double\)，而我們需要注意在最后，\(ans = -ans\)，因為對換一行或者一列使得其值取反\(qwq\)。
2、那么矩陣樹該登場啦！
根據基爾霍夫矩陣，我們隨意取它的任意一個\(n - 1\)階主子式（可證明對於任意的\(i\)是等價的），然后求出主子式的值，得到的就是在這個圖中生成樹的數量
然而證明……我並不會證明……我怎么這么弱啊……
放心吧，等到今年暑假結束之前，我一定要回來完善這篇博客的！
擴展定理：
也叫做“變元矩陣樹定理”，如果我們把鄰接矩陣變成邊權矩陣，即\(A_{i,j}\)表示\(i,j\)兩條邊之間的邊權，\(D_{i,i}\)表示與第\(i\)個節點的相連的邊的邊權和，那么我們可以得到基爾霍夫矩陣就是所有生成樹中的邊權之積的和
也就是$$\mathcal{K \ \ = \ \ D \ \ - \ \ A } $$ $$\mathcal{det(K) = \sum\limits_{T}^{}{\prod\limits_{I = 1}^{n-1}{w_i}}}$$
先把朴素矩陣樹定理的\(code\)撂這兒吧
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define il inline
#define MAXN 2225
#define ll long long
using namespace std ;
ll N, T, M, ans = 1;
ll K[MAXN][MAXN] ;
ll a, b, i, j, k, t ;
il ll gauss_work(){
for( i = 1; i < N ; i ++){
for(j = i + 1; j < N ; j ++){
while(K[j][i]){
t = K[i][i] / K[j][i] ;
for(k = i; k < N; k ++)
K[i][k] = K[i][k] - t * K[j][k] ;
swap(K[i], K[j]) ;
ans = -ans ;
}
}
ans *= K[i][i] ;
}
return ans ;
}
int main(){
cin >> T ;
while(T --){
ans = 1 ;
scanf("%d%d", &N, &M) ;
memset(K, 0, sizeof(K)) ;
for(i = 1; i <= M; i ++){
scanf("%d%d", &a, &b) ;
K[a][a] ++ ;
K[b][b] ++ ;
K[a][b] -- ;
K[b][a] -- ;
}
printf("%d\n", gauss_work()) ;
}
}
然后高消的，在spoj上過了上一份代碼在SPOJ上WA了…但沒有大問題，應該是編譯器的鍋
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std ;
const int MAXN = 3010 ;
const double eps = 1e-12 ;
int N, T, M, a, b, i, j, k, t ; double K[MAXN][MAXN] ;
int _back(int x) {if(x <= eps || x >= -eps ) return 0 ;else return x < 0 ? -1 : 1 ;}
void Gauss_work(){
N -- ; int big ; double t, ans = 1 ;
for(i = 1; i <= N; i ++){
big = i ;
for(j = i + 1 ; j <= N; j ++)
if(_back(K[big][i] - K[j][i]) < 0 ) big = j ;
if(big != i) swap(K[i], K[big]) ; if(!K[i][i]) {printf("0\n") ; return ;}
for(j = i + 1; j <= N; j ++){
t = K[j][i] / K[i][i] ;
for(k = i; k <= N + 1; k ++)
K[j][k] -= t * K[i][k] ;
}
}
for(i = 1; i <= N; i ++) ans = ans * K[i][i];
printf("%.0f\n",abs(ans)) ;
}
int main(){
cin >> T ;
while(T --){
scanf("%d%d", &N, &M) ;
memset(K, 0, sizeof(K)) ;
for(i = 1; i <= M; i ++){
scanf("%d%d", &a, &b) ;
K[a][a] ++ ;
K[b][b] ++ ;
K[a][b] -- ;
K[b][a] -- ;
}
Gauss_work() ;
}
return 0 ;
}