通過DFS求解有向圖（鄰接矩陣存儲）中所有簡單回路

前言

查閱了網上許多關於通過DFS算法對有向圖中所有簡單回路的查找，發現有很多關於使用DFS求解有向回路中所有簡單回路的帖子，（在按照節點編號情況下）但大多數僅僅尋找了編號遞增的回路。又或者未對結果去重。P.S.下述有向圖中所有節點均使用數字進行編號，如節點0、節點1 \(\cdots\)

1. 算法描述

本算法基於DFS，思路與傳統DFS基本類似，只不過在遍歷過程中對所經過的路徑通過一個棧進行保存，當找到回路時，檢測此條回路是否已經在結果集中出現，若未出現，則將其放入結果集。本過程中比較關鍵的兩步是DFS與結果集去重。


關於DFS。每當從一個新的頂點出發對其進行遞歸的深度遍歷時，我們維護一個新的節點已訪問數組visited[]以及一個一維的回路棧loopStack。當訪問到節點v時，若v已經被訪問，即visited[v]==true時，掃描棧中是節點v是否已經出現過，當節點v已經在棧中出現過，則說明此時出現一條回路，我們將其加入結果集。若節點v未被訪問，此時置visited[v]=true並將節點v入棧，並對v的所有鄰接點進行訪問，重復以上操作。到最深處（即已無鄰接點未遍歷）進行回溯處理，即將棧頂元素退棧。


關於去重。當需要在結果集中加入新找到的一條回路時，需要對結果集掃描，判斷此條回路是否已經出現過。但在一個有向圖中很容易發現回路\(0\rightarrow1\rightarrow2\rightarrow3(\rightarrow0)\)與回路\(2\rightarrow3\rightarrow1\rightarrow0(\rightarrow2)\)是兩條相同的回路，那么在結果集中我們需要對此類回路進行去重，此處我的具體做法是使用兩個指針i、j對將要比較的兩條回路同時進行掃描比較，指針i指向第一條回路的起始位置，指針j指向第二條回路中，與指針i指向位置元素相等的位置，記錄兩個回路中相等的元素個數count，當count==loop.size()時，我們稱這兩條回路為同一條回路，否則將新回路加入結果集。

算法具體步驟：

1. 從v出發對圖進行深度遍歷若此節點已訪問則轉2，否則轉3。
2. 若此節點已經在loopStack中出現，表明有回路存在，判斷回路是否已經在結果集loopStacks中出現，若沒出現過，則放入結果集。
3. 置Visited[v]=true，節點v入棧，對v的鄰接頂點繼續進行深搜。當搜索完所有鄰接頂點，棧頂元素退棧。

###2. 算法實現 完整代碼在github，請[點擊這里](https://github.com/geTiger/FindLoopsInGraph/blob/master/FindAllSimpleLoopsDFS.h) DFS部分實現 ``` void DFS(int v) { int position = FindInVector(loopStack, v); if (position ==-1 && visited[v]) visited[v] =false; if (visited[v] == 1) { if (position >=0) { vector loop; //將環單獨拿出並放入結果集 for (int i = position; i < loopStack.size(); i++) { loop.push_back(loopStack[i]); } AddLoopStack(loop); return; } return; } visited[v] = true; loopStack.push_back(v);

for (int j = 0; j < adjMatrixSize; j++) {
	if (adjMatrix[v][j] == 1)
		DFS(j);
}

loopStack.pop_back();

}

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結果集去重部分

void AddLoopStack(vector loop) {
bool haveThisLoop = false;
int count,begin;
if (loopStacks.size() == 0)
loopStacks.push_back(loop);
else {
for (int i = 0; i < loopStacks.size(); i++) {//遍歷結果集中的每一個回路
count = 0;
begin = 0;
if (loop.size() == loopStacks[i].size()) {//若長度相等則進一步比較
//為方便比較，找到結果集中第i條回路中與loop進行匹配的起點
for (int k = 0; k < loopStacks[i].size(); k++) {
if (loop[0] == loopStacks[i][k])
begin = k;
}
//j指針從待添加結果集的loop數組的頭部開始掃描
//k指針從上述所找出的與loop數組比較的起點開始掃描
for (int j =0,k=begin; j < loop.size(); j++, k = (k + 1) % (loopStacks[i].size())) {
if (loop[j] == loopStacks[i][k])
count++;
}
if (count == loop.size()) {
//haveThisLoop = true;
//break;
return;
}
}
}//end else

	loopStacks.push_back(loop);
}

}

###3. 算法復雜度分析
假設存在n個頂點，考慮最壞情況下，有向圖為有向完全圖，那么可能的回路個數就是$C_n^2+C_n^3+\cdots+C_n^n=2^n-n-1$個回路，另外需要對n個頂點均需要DFS，而每條邊都需要經過，加上去重的部分，所以時間復雜度為$O(n^32^n)$，需要保存所有回路的空間，故空間復雜度為$O(2^n)$。
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參考資料
嚴蔚敏數據結構（C語言版）