基於鄰接矩陣，有向圖的環路檢測

來源：操作系統死鎖的檢測部分，學到一個死鎖檢測算法，模型基於鄰接矩陣，檢測有向圖是否存在環路。

前提描述：n個進程，用鄰接矩陣描述他們之間的依賴關系，如果R1需要R2先釋放資源，那么在矩陣中記為1。對於一個3個進程的情況，如下圖所示：

R0、R1、R2之間相互等待於是構成了死鎖，在圖中的效應就是構成了環路，我們要通過矩陣的運算，證明某個矩陣是否存在環路。

算法模型：for k:=1 to n do:

　　　　　　for i:=1 to n do:

　　　　　　　for j:=1 to n do:

　　　　　　　b[i][j]:=b[i][j]V(b[i][k]Λb[k][j]);          //V相當於“或”運算，Λ相當於“與”運算。

我的理解、分析：i、j是對矩陣兩個坐標的描述，k是什么呢？我理解的是”橋“，Ri通過Rk能到達Rj，則標記b[i][j]為1。我將從公式和程序驗證的角度進行說明：

　　程序的驗證，選用C語言進行模擬（ps：我的循環起點是零，但不影響結果，以下的分析都是以0為起點）

　　

#include <stdio.h>
#define mapsize 3
int b[mapsize][mapsize] = { {0,1,0},{0,0,1},{1,0,0} };
void mapout() {
    int i, j;
    for (i = 0; i < mapsize; i++) {
        for (j = 0; j < mapsize; j++) {
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}
int main() {
    int k, i, j, n;
    n = mapsize;
    for (k = 0; k < n; k++) {
        for (i = 0; i < n; i++) {
            for (j = 0; j < n; j++) {

                printf("b[%d][%d]=b[%d][%d]||(b[%d][%d]&&b[%d][%d])=", i, j, i, j, i, k, k, j);
                b[i][j] = b[i][j] || (b[i][k] && b[k][j]);
                printf("%d\n",b[i][j]);

            }
        }
        printf("--------------------------------\n");
        mapout();
    }
    return 0;
}

 

當k=0時，矩陣運算后的結果如下圖，“橋”，R2通過R0到達R1，標記b[2][1]=1。

當k=1時，矩陣運算后結果如下圖，“橋”，R0通過R1能到達R2，標記b[0][2]=1;R2通過R0、R1能到達R2，標記b[2][2]=1。(列舉到這里，相信你已經有所體會，所以我偷懶少寫點)

運算的最終結果b[i][j]代表Ri能到達Rj，根據回路的定義“V0=Vk的通路”（V0起點，Vk終點），所以死鎖存在判斷的依據是，結果矩陣中是否存在b[i][i]=1（在死鎖判斷中，b[i][j]=b[j][i]也具有說服力，可以說明死鎖特征的相互等待情況）。

　　公式驗證，簡單說一下,R0到R2，要么R0直連R2，要么R0->R1->R2,用數學語言描述為:b[0][2]=1或者(b[0][1]=1且b[1][2]=1)，結合0、1運算特性，公式：b[i][j] = b[i][j] || (b[i][k] && b[k][j]);

k在這里就是1，是個“橋”。（如果老師問你，你回答k是“橋”，然后GG了，本人不負責任）

 

 

 

環路檢測的話，多是使用的深度遍歷、廣度遍歷的搜索方法。兩種方法的時間復雜度是O(n^2)，顯然優於三層循環方法。 （寫到這里，似乎上學期算法課，當時的老師沒講清楚，我分析過一波K！！！刪博警告）