一、函數的連續性
增量
變量u:初值u1 -> 終值u2
增量Δu: Δu = u2-u1
正的增量Δu:u1變到u2時是增大的
負的增量Δu:u1變到u2時是減小的
函數的增量
即:當因變量增量隨自變量增量趨於0，稱為連續。
單側連續
·左連續:如果limx->x0- f(x)存在且等於f(x0) 即f(x0-) = f(x0)
·右連續:如果limx->x0+f(x)存在且等於f(x0) 即f(x0+) = f(x0)
·定理 函數f(x)在x0處連續=函數f(x)在x0處既左連續又右連續
連續函數
定義:在區間上每一點都連續的函數,叫做在該區間上的連續函數
或者說函數在該區間上連續
注1 如果區間包括端點,那么函數在右端點處左連續，在左端點處右連續
注2 連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線
例題
例 證明函數y = sinx 在區間(-∞,+∞)內連續
二、函數的間斷點
第一類間斷點(左右極限都存在)
跳躍間斷點
·如果f(x)在x0處左右極限都存在
·但f(x0-0)≠f(x0+0)
則稱點x0為函數f(x)的跳躍間斷點
討論f(x) = { -x,x<=0 1+x,x>0} 在x=0處的連續性
可去間斷點
·如果f(x)在x0處極限存在
·但limx->x0 f(x) = A ≠f(x0) 或在點x0處無定義
則稱點x0為函數f(x)的可去間斷點
注意
·注1:可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義,則可使其變為連續點
·注2:跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點
第二類間斷點
·如果f(x)在x0處左右極限至少有一個不存在
·則稱x0為函數f(x)的第二類間斷點
例題1
討論f(x) = { 1/x (x>0 x(x<=0 ) 在x=0處的連續性
四、章小結
·函數在一點連續必須滿足的三個條件；
1.在這一點有定義
2.在這一點極限是存在的
3.極限存在的情況下 還要等於在這一點的函數值
·區間上的連續函數;
函數在區間上的任意一點都連續,我們就說函數在區間上是連續的
·間斷點的分類與判別;
間斷點{
第一類間斷點:可去型，跳躍型 (左右極限都存在
第二類間斷點:無窮型, 振盪型 (至少有一個極限不存在
}
