各種不等式的解法收集

前言

解不等式，是高中學生的基本必修課。既能培養學生的運算能力，也能提升學生的思維能力，是學生首當其沖要過的關口。對學生的運算能力，思維能力，轉化和划歸能力要求較高。主要涉及從數的角度解不等式和從形的角度解不等式。

從數的角度解

• 一元一次不等式

\(ax+b>0\)，當\(a>0\)時解集為\((-\cfrac{b}{a}，+\infty)\)；當\(a<0\)時解集為\((-\infty，-\cfrac{b}{a})\)；

• 一元二次不等式

角度一：數字系數的一元二次不等式，

①\(x^2<3\)的解集為\((-\sqrt{3}，\sqrt{3})\)，

使用方法：絕對值法，\(|x|<\sqrt{3}\)；二次函數法；穿根法，

②\(x^2+2x<0\)的解集為\((-2，0)\)

③\(-x^2+3x-2>0\)，解集為\((1，2)\)

角度二：字母系數的一元二次不等式，

如\(x^2-(a+a^2)x+a^3<0.(a\neq0)\)

• 能轉化為一元二次不等式，

引例，\((x^2-3x+2)\cdot(x+1)<0\)，解集為\((-\infty，-1)\cup(1，2)\)；

引例，\(2^{x^2-x}<4\)，解集為\((-1，2)\)；

如果能理解不等式中的\(x\)的內涵，\(x\Rightarrow 代數式\)，則可以解決諸如這樣的不等式，

\((2^x)^2-3\cdot 2^x+2<0\)，解集為\((0，1)\)；

\((log_2^{\;\; x})^2-3\cdot log_2^{\;\;x}+2<0\)，解集為\((2，4)\)；

• 高次不等式

如\((3x^2-2x-1)\cdot(x^2-1)<0\)，解集為\(x\in(-1，-\cfrac{1}{3})\)；

如\((3x^2-2x-1)\cdot(x^2-1)\leq 0\)，解集為\(x\in[-1，-\cfrac{1}{3}]\cup\{1\}\)；

• 分式不等式，

如\(\cfrac{3x^2-2x-1}{x^2-1}\ge 0\)，化簡為\(\cfrac{3x+1}{x+1}\ge 0\)且\(x-1\neq 0\)，故解集為\((-\infty，-1)\cup[-\cfrac{1}{3}，1)\cup(1，+\infty)\)

如\(\cfrac{2x^2+3x+1}{x-2}>0\)，解集為\(x\in(-1，-\cfrac{1}{2})\cup(2，+\infty)\)；

\(\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0\)，解集為\(x\in(-\infty，-1)\cup(\cfrac{1}{2}，+\infty)\)；

• 絕對值不等式

基本類型，如
\(|x-1|<1\)，等價於\(-1<x-1<1\)，即\(0<x<2\)；解集為\(x\in (0，2)\)

\(2<|x-1|<3\)，等價於\(2<x-1<3\)或者\(-3<x-1<-2\)，即解集為\((3，4)\cup(-2，-1)\)。思路：絕對值的幾何意義或者分類討論去掉絕對值符號。

帶有兩個絕對值符號的不等式，

如\(|x+1|+|x-2|\leq 3\)，零點分段法，解集為\([-1，2]\)；

帶有兩個絕對值符號的不等式的求解，如\(|x-2|\ge |2x+1|\)，兩邊同時平方法，轉化為二次不等式求解。

帶有兩個絕對值符號的不等式的轉化，如\(|x-2|\ge |y-4|(x\in [1，2])\)

帶有雙層絕對值符號的不等式的轉化，如\(|2|x|-1|\leq 1\)，整體思想，解集為\([-1，1]\)；

• 對數不等式

\(log_2^{\,\,x}<1\)，解集為\((0，2)\)；

\(log_2^{\,\,(x-2)}<log_2^{(2x+1)}\)， 解集為\((2，+\infty)\)；

\(log_2^{\,\,(x+1)}<2.5\)，解集為\((-1，4\sqrt{2}-1)\)；

• 指數不等式

\(2^x>3\)，即\(2^x>2^{log_23}\)，解集為\((log_23，+\infty)\)；

\(3^{x^2-3x-1}<(\cfrac{1}{3})^{2x-1}\)，解集為\((-1，2)\)；

\(e^x>2\)，即\(e^x>e^{ln2}\)，，解集為\((ln2，+\infty)\)；

\(81\times3^{2x}\ge (\cfrac{1}{9})^{x+2}\)，解集為\((-2，+\infty)\)；

\(2^{2x+2}+3\times2^x-1\ge 0\)，解集為\((-2，+\infty)\)；

• 三角不等式

• \(2sinx>1\)，\(3sinx+4cosx<2\)，\(2cos(2x+\cfrac{\pi}{3})<1\)

• 求函數\(y=\lg sinx+\sqrt{\cos2x+\frac{1}{2}}\)的定義域。

• 分段函數不等式

分段函數不等式；

• 抽象函數不等式

抽象函數不等式；

• 無理不等式 求解\(2\leqslant 2\sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}}\leqslant 6\)

• 排列數組合數不等式

\(\begin{cases} C_{10}^r2^{10-r} \ge C_{10}^{r-1}2^{11-r} \\ C_{10}^r2^{10-r}\ge C_{10}^{r+1}2^{9-r} \end{cases}\)

• 利用圖像解不等式

例1 函數\(f(x)\)是周期為4的偶函數，當\(x\in[0，2]\)時，\(f(x)=x-1\)，求不等式\(x\cdot f(x)>0\)在\([-1，3]\)上的解集。^[1]

例2 已知二次函數\(f(x)>0\)解集\(\{x\mid x<1或x>3\}\),求\(f(log_2^\;x)<0\)的解集。

分析：由三個二次的關系可知，\(f(x)<0\)的解集為\(\{x\mid 1<x<3\}\)，

故由\(f(log_2^\;x)<0\)可得，\(1<log_2^\;x<3\)，即\(log_2\;2<log_2^\;x<log_2\;8\)，故\(2<x<8\)；

• 導函數的不等式。

如已知函數的解析式為\(f(x)=\cfrac{2x+1}{x}\cdot e^x\)，求解單調區間，

分析：實質就是解不等式\(f'(x)=\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0\)和\(f'(x)=\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}<0\)，

此時可以通過穿根法解分式不等式。

\((-\infty，-1)和(\cfrac{1}{2}，+\infty)\)單調遞增；\((-1，0)和(0，\cfrac{1}{2})\)單調遞減；

綜合轉化

指能轉化為解不等式的問題

例1 已知集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合\(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\)，若\(B\subseteq A\)，則實數\(m\)的取值范圍是什么？

分析：集合\(A\)為定集，集合\(B\)為動集，又因為出現了條件\(B\subseteq A\)，故需要針對集合\(B\)分類討論如下：

1、當集合\(B=\varnothing\)時，則有\(m+1\ge 2m-1\)，解得\(m\leq 2\)；

2、當集合\(B\neq\varnothing\)時，必須滿足三個條件，即\(\begin{cases}&m+1<2m-1\\&-2\leq m+1\\&2m-1\leq 7\end{cases}\)，解得\(2<m\leq 4\)；

綜上所述：實數\(m\)的取值范圍是\(\{m\mid m\leq 4\}\)。

例1-1 上例中是否存在實數\(m\)，使得\(A\subseteq B\)？若存在，求其取值范圍，若不存在說明理由。

分析：自行畫出草圖可知，若存在滿足題意的實數\(m\)，則必滿足條件\(\begin{cases}&m+1< -2\\&2m-1> 7\end{cases}\)，解得\(m\in \varnothing\)。故這樣的實數不存在。

例1-2 若集合\(B=\{x\mid m+1\leq x\leq 1-2m \}\)，集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，若\(A\subsetneqq B\)，求實數\(m\)的取值范圍。

分析：自行畫出草圖可知，先列出條件\(\begin{cases}&m+1\leq-2\\&1-2m \ge 7\end{cases}\)，解得\(m\leq -3\)，接下來驗證\(m=-3\)是否滿足題意。

當\(m=-3\)時，\(A=[-2，7]\)，\(B=[m+1，1-2m]=[-2，7]\)，此時\(A=B\)，不滿足題意，舍去，故實數\(m\)的取值范圍為\(\{m\mid m<-3\}\)。

例3 函數\(f(x)=\cfrac{ln(x+3)}{\sqrt{1-2^x}}\)的定義域是\((-3，0)\).

例4 若函數\(f(x)=-x^2+2ax\)與\(g(x)=(a+1)^{1-x}\)在區間\([1，2]\)上都是減函數，求\(a\)的取值范圍；

分析：函數\(f(x)\)開口向下，對稱軸是\(x=a\)，必須滿足\(a\leq 1\)；函數\(g(x)\)是指數型函數，必須滿足\(a+1>0\)且\(a+1\neq 1\)且\(a+1>1\)，求交集得到\(0<a\leq 1\).

例5 已知函數\(f(x)=\begin{cases}x^2+4x，&x\ge0\\4x-x^2，&x<0\end{cases}\)，若\(f(2-a^2)>f(a)\)，求實數\(a\)的取值范圍。

分析：自行作圖，結合分段函數\(f(x)\)的大致圖像可知，\(f(x)\)在\(R\)上單調遞增，故由\(f(2-a^2)>f(a)\)，可直接脫掉符號\(f\)，得到\(2-a^2>a\)，解得\(-2<a<1\).

例6 已知函數\(f(x)=\cfrac{ax+b}{x}\cdot e^x，a、b\in R，a>0\)，

(1).若函數\(f(x)\)在\(x=-1\)處取到極值\(\cfrac{1}{e}\)，試求函數\(f(x)\)的解析式和單調區間；

解析：\(f(x)=\cfrac{ax+b}{x}\cdot e^x\)，由\(f(-1)=\cfrac{1}{e}\)，

得到\(f(-1)=\cfrac{-a+b}{-1}\cdot e^{-1}=\cfrac{1}{e}\)，即\(a-b=1①\)

又\(f'(x)=(\cfrac{ax+b}{x})'\cdot e^x+\cfrac{ax+b}{x}\cdot e^x=\cfrac{ax-ax-b}{x^2}\cdot e^x+\cfrac{ax+b}{x^2}\cdot e^x\cdot x\)

即\(f'(x)=e^x\cdot \cfrac{ax^2+bx-b}{x^2}\)，由\(f'(-1)=0\)，得到\(a-2b=0②\)，

聯立①②兩式得到，\(\left\{\begin{array}{l}{a-b=1}\\{a-2b=0}\end{array}\right.\)，求得\(a=2，b=1\)；

則函數的解析式為\(f(x)=\cfrac{2x+1}{x}\cdot e^x\)；

求解單調區間，實質就是解不等式\(f'(x)=\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0\)\(f'(x)=\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}<0\)，

此時可以通過穿根法解分式不等式。

\((-\infty，-1)和(\cfrac{1}{2}，+\infty)\)單調遞增；\((-1，0)和(0，\cfrac{1}{2})\)單調遞減；

例5 求解\(2\leqslant 2\sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}}\leqslant 6\)

分析：約分，得到\(1\leqslant \sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}} \leqslant 3\)，

兩邊平方，得到\(1\leqslant 9-\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9\)，

兩邊同加\(-9\)，得到\(-8=1-9\leqslant -\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9-9=0\)，

兩邊同乘以\(-1\)，得到\(0\leqslant \cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 8\)，

整理為\(0\leqslant|2+a|^2\leqslant 16\)，

兩邊同時開平方，得到\(0\leqslant|2+a|\leqslant 4\)，

即\(|a+2|\leqslant 4\)，即\(-4\leqslant a+2\leqslant 4\)，

解得，\(-6\leqslant a\leqslant 2\)；

延伸閱讀

1、穿根法的前世今生

2、三角不等式的解法

3、雙連不等式

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1. 法1：自己作圖如右，讀圖即可解答，解集為\((-1，0)\cup(1，3)\)；
   
   法2：利用積的符號法則求解，原不等式等價於\(\begin{cases}x>0\\f(x)>0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x<0\\f(x)<0\end{cases}\)，
   例2 解關於\(x\)的不等式\(lnx>1-x\)；
   分析：你應該能感覺到，這個題目用我們平常的那種解法(代數解法)已經不能做出來了，因為它不是我們熟悉的那種代數不等式，而是超越不等式，這時候就需要我們借助圖像來求解。
   比如分別作出兩個函數\(y=lnx\)和\(y=1-x\)的圖像觀察求解，如右圖所示，解集為\((1，+\infty)\)；
   
   同類題目：解關於\(x\)的不等式\(2^x>1-x\)；解集為\((0，+\infty)\)；：解關於\(x\)的不等式\(log_2^x>\cfrac{2}{x}\)；解集為\((2，+\infty)\)； ↩︎